Kezdőlap


Feladat:	1137. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Keresztessy Attila
Füzet:	1974/január, 40 - 41. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/május: 1137. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy félhenger palástján lecsúszó $m$ tömeg lerepülésének feltétele valamely $β$ helyzetben

\begin{matrix} m v^{2} / r \geq m g cos β . \end{matrix}

(1)

β

elég közel van

90^{\circ}

-hoz, ez a feltétel mindig teljesül, így a feladatban nyilván annak vizsgálata érdekes, hogy a rendszert a nehezebb (

k m

) tömeg felé indítva milyen feltételek mellett repül le a kisebb (

m

) tömeg, még mielőtt a nagyobb a földre érne. A megoldásnál elhanyagoljuk, hogy a nagyobb tömeg nem mozog mindig a félhenger felszínén.

A legcélszerűbb az az

α

indítási helyzet, amikor a tömegek labilis egyensúlyi helyzetben vannak, hiszen a rendszer helyzeti energiája itt a legnagyobb, és így a

β

szögnél ekkor lesz

v^{2}

a legnagyobb. Itt a forgatónyomatékok egyenlősége alapján

\begin{matrix} k m r cos α = m r sin α, \end{matrix}

így

\begin{matrix} tg α = k . \end{matrix}

(2)

A rendszer

β

szöghelyzetbeli sebességét az energiatétel alapján határozhatjuk meg:

\begin{matrix} (1 / 2) (k + 1) m v^{2} = k m g r (sin α - sin β) - m g r (cos β - cos α) . \end{matrix}

Ide (1)-et és (2)-t behelyettesítve és rendezve az a minimális

k

, melynél a kisebb tömeg

β

szögnél lerepülhet, a következő egyenletből határozható meg:

\begin{matrix} (1 / 2) (k + 3) cos β + k sin β = \sqrt[]{k^{2} + 1} . \end{matrix}

A tömegarány keresett alsó határát akkor kapjuk meg, ha a

β = 0

esetet vizsgáljuk. Ekkor

\begin{matrix} (1 / 2) (k + 3) = \sqrt[]{k^{2} + 1}, ahonnan k \approx 2, 633. \end{matrix}

Tehát a tömegek arányának

2, 633

-nál nagyobbnak kell lennie, hogy a nagyobb tömeg földet érése előtt a kisebb is elhagyhassa a felszínt.

Keresztessy Attila (Nyíregyháza, Krúdy Gy. Gimn., III. o. t.)