Kezdőlap


Feladat:	1135. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Surján Péter
Füzet:	1974/január, 37 - 39. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nyújtás, összenyomás, Biológiával kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/május: 1135. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) A szervezet vérkeringésében a szívnek fizikai szempontból az a feladata, hogy összehúzódása (ill. elernyedése) révén az erekbe vért pumpáljon. Két egyenlő térfogatú szív közül az tekinthető gazdaságosabbnak, amelynek egységnyi térfogatváltozásához a szívizmok kisebb rugalmassági energiabefektetése szükséges. Az első esetben modellezzük a szívet egy $r$ sugarú és $h$ magasságú hengerrel, a második esetben pedig egy $R$ sugarú gömbbel. Mindkét esetben $E$ rugalmassági modulusúnak és $d (≪ r, R)$ vastagságúnak tekintjük a szívfalat. A két szívtérfogat legyen egyenlő.

\begin{matrix} r^{2} π h = (4 / 3) R^{3} π . \end{matrix}

(1)

Ha a henger sugara

Δ r

-rel megváltozik, akkor

Δ V_{h} = 2 r π h \cdot Δ r

térfogatváltozás lép fel, a gömbnél pedig a

Δ R

sugárváltozás

Δ V_{g} = 4 R^{2} π \cdot Δ R

térfogatváltozást eredményez. A fentiek értelmében legyen

\begin{matrix} Δ V_{h} = Δ V_{g}, \\ azaz 2 r π h \cdot Δ r = 4 R^{2} π \cdot Δ R . & (2) \end{matrix}

Számítsuk ki, hogy ezekhez az egyenlő térfogatváltozásokhoz mennyi rugalmassági energia szükséges. Ismeretes, hogy egy

E

rugalmasságú modulusú, hosszúkás rúd a relatív hosszváltozásához

W = (1 / 2) E ε^{2}

energia szükséges térfogategységenként. Alkalmazzuk ezt az esetet közelítésként a kétféle szívre.
A henger alakú szíven végzett deformációs munka:

\begin{matrix} W_{h} = 2 r π h d \cdot (1 / 2) E ε_{h}^{2} = r π h d E {(Δ r / r)}^{2} . \end{matrix}

(3)

A gömb alakú szív deformációs munkája:

\begin{matrix} W_{g} = 4 R^{2} π d \cdot (1 / 2) E ε_{g}^{2} = 2 R^{2} π d E {(Δ R / R)}^{2} . \end{matrix}

(4)

Fejezzük ki a két munka arányát:

\begin{matrix} \frac{W_{g}}{W_{h}} = \frac{2 R^{2} {(\frac{Δ R}{R})}^{2}}{r h {(\frac{Δ r}{r})}^{2}} = \frac{2 r}{h} {(\frac{Δ R}{Δ r})}^{2} . \end{matrix}

(5)

Fejezzük ki (2)-ből a

Δ R / Δ r

hányadost, valamint (1)-ből a

R

sugarat, és helyettesítsük be ezeket az (5) egyenletbe! Rendezés után a deformációs munkák hányadosára ezt kapjuk:

\begin{matrix} \frac{W_{g}}{W_{h}} = \frac{2}{3} {(\frac{4 r}{3 h})}^{1 / 3} . \end{matrix}

(6)

Ugyanazon térfogatváltozáshoz a gömb alakú szívnél akkor kell kisebb deformációs munkavégzés, ha

W_{g} < W_{h}

, azaz

\begin{matrix} \frac{2}{3} {(\frac{4 r}{3 h})}^{1 / 3} < 1. \end{matrix}

(7)

Ez a

\begin{matrix} h > (16 / 27) r \end{matrix}

(8)

feltétel teljesülését igényli. Mivel ez a kikötés reális mérlegelés esetén általában mindig teljesül, ezért a gömb alakú szív ,,gazdaságosabbnak'' tekinthető, mint egy erősen hengerszerű.
b) Ha a szívben sugárirányú rostok találhatók, akkor a szív az összehúzódás szempontjából olyan gömbbel modellezhető, amelyben a középpontból kiinduló gumiszálak a felülethez tapadnak. Legyen a gömb sugara

R

, az egységnyi felülethez tapadó szálak száma

n

, a szálak keresztmetszete

q

, Young modulusa

E

. A

Δ r_{1} / R

relatív sugárváltozás

\begin{matrix} W_{1} = n \cdot 4 R^{2} π \cdot q R \cdot (1 / 2) E {(Δ r_{1} / R)}^{2} = 2 R π n q E {(Δ r_{1})}^{2} \end{matrix}

(9)

alakváltozási munka révén jön létre, és ez a gömb belsejében

\begin{matrix} Δ p_{1} = n q σ = n q E Δ r_{1} / R \end{matrix}

(10)

nyomásnövekedést eredményez.
Ha az összehúzó izomrostok a felületen helyezkednek el, akkor modellül egy gumi ballon szolgál. Válasszuk ki a felület egy

a \cdot a

négyzet alakú darabját. Mindegyik oldalra érintőlegesen

\begin{matrix} F = a d E Δ r_{2} / R \end{matrix}

(11)

erő hat, ahol

Δ r_{2}

a deformáció hatására bekövetkező sugárváltozás. Ha

Δ φ

-ve1 jelöljük a középponti szöget, akkor

a

így fejezhető ki:

\begin{matrix} a = (R - Δ r_{2}) Δ φ . \end{matrix}

(12)

Δ p_{2}

nyomáskülönbséget a felületi erők hozzák létre:

\begin{matrix} Δ p_{2} \cdot a^{2} = 4 F sin (Δ φ / 2) . \end{matrix}

Kis

Δ φ

esetén a szög szinusza a szög radiánban vett értékével közelíthető:

\begin{matrix} Δ p_{2} = (2 F / a^{2}) \cdot Δ φ . \end{matrix}

(13)

Helyettesítsük (13)-ba (11)-et és (12)-t! Rendezés után, valamint az

R ≫ Δ r_{2}

feltétel figyelembevételével

\begin{matrix} Δ p_{2} = \frac{2 E d}{R^{2}} Δ r_{2} \end{matrix}

(14)

adódik. A

Δ r_{2}

sugárváltozáshoz

\begin{matrix} W_{2} = 4 R^{2} π d \cdot (1 / 2) E {(\frac{Δ r_{2}}{R})}^{2} = 2 E π d \cdot {(Δ r_{2})}^{2} \end{matrix}

(15)

alakváltozási munka tartozik.
A két eset közül az a kedvezőbb, amelyiknél ugyanolyan hatásos térfogatváltozás és a létesített nyomáskülönbségek egyenlősége mellett kisebb a deformációs munka:

\begin{matrix} Δ p_{1} = Δ p_{2}, \\ n q E \frac{Δ r_{1}}{R} = \frac{2 E d}{R^{2}} Δ r_{2} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} d = \frac{n R q}{2} \cdot \frac{Δ r_{1}}{Δ r_{2}} . \end{matrix}

(16)

d

most kapott értékét írjuk be (15)-be:

\begin{matrix} W_{2} = E π n R q (Δ r_{1}) (Δ r_{2}) . \end{matrix}

(17)

Képezzük a két munkavégzés hányadosát:

\begin{matrix} W_{1} / W_{2} = 2 (Δ r_{1} / Δ r_{2}) . \end{matrix}

Ez az arány általában nagyobb egynél, ugyanis az első esetben nagyobb sugárváltozás hozza létre ugyanazt a hatásos térfogatváltozást, mint ami

Δ r_{2}

-höz tartozik, mivel az első esetben az izomrostok a gömb belsejében vannak. Tehát a felületi izomrostok kialakulása a hatásos térfogat növekedését és ezáltal a ,,gazdaságosabb'' üzemelést jelenti.

Surján Péter dolgozata alapján