Kezdőlap


Feladat:	1134. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pintér Klára , Szathmári Attila
Füzet:	1974/január, 35 - 37. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felületi feszültségből származó erő, Kapilláris csövek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/május: 1134. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A folyadék $p_{h} = h \cdot γ$ hidrosztatikai nyomásával a

\begin{matrix} p_{g} = (2 α / R) \cdot cos φ \end{matrix}

görbületi nyomás tart egyensúlyt, ha

φ

a folyadék illeszkedési szöge (esetünkben

φ = 0^{\circ}

R

a felszínre simuló gömb sugara.

1. ábra

Mint az (erősen torzított) 1. ábrából láthatjuk,

R

és a kapilláris

r

sugara között az

\begin{matrix} R = \frac{r}{cos β} = r \sqrt[]{1 + m^{2}} . \end{matrix}

összefüggés áll fönn, mert

tg β = m

. Felírva a

p_{g} = p_{h}

egyensúlyi feltételt, és kihasználva, hogy

\begin{matrix} r = m h + h_{0}, \end{matrix}

h

magasságra másodfokú egyenletet kapunk:

\begin{matrix} m γ h^{2} + h_{0} γ h - \frac{2 α}{\sqrt[]{1 + m^{2}}} = 0. \end{matrix}

A megoldás:

\begin{matrix} h_{1, 2} = \frac{- h_{0} γ \pm \sqrt[]{h_{0}^{9} γ^{2} + 8 α m γ / \sqrt[]{1 + m^{2}}}}{2 m γ} . \end{matrix}

A diszkusszióhoz tüntessük fel

p_{g}

és

p_{h}

értékét mint a magasság függvényét (2. ábra):

\begin{matrix} p_{h} = h γ, p_{g} = \frac{2 α}{(m h + h_{0}) \sqrt[]{1 + m^{2}}} . \end{matrix}

p_{h}

képe egy egyenes,

p_{g}

pedig

m

értékétől függően más-más helyzetű hiperbola.
a)

m = 0

-nál

p_{g}

hiperbolája egyenessé fajul. A két egyenesnek egy metszéspontja van, a másodfokú egyenletből is elsőfokú lesz,

\begin{matrix} h = \frac{2 α}{h_{0} γ} . \end{matrix}

m > 0

esetén a hiperbolának és az egyenesnek

h > 0

-nál csak egy metszéspontja van. A másodfokú egyenletnek is csak az egyik gyöke pozitív:

\begin{matrix} h = \frac{\sqrt[]{h_{0}^{2} γ^{2} + 8 α m γ / \sqrt[]{1 + m^{2}}} - h_{0} γ}{2 m γ} . \end{matrix}

2. ábra

m < 0

esetén az egyenes és a hiperbola általában kétszer metszi egymást, ha azonban

\begin{matrix} d) \frac{m}{\sqrt[]{1 + m^{2}}} = - \frac{h_{0}^{2} γ}{8 α}, \end{matrix}

akkor a két metszéspont egybeesik, és ha

m / \sqrt[]{1 + m^{2}}

ennél az értéknél is kisebb, akkor nincs metszéspont.
Az utóbbi esetben a folyadék felszalad a kapilláris tetejéig, és a cső peremét úgy nedvesíti, hogy a kialakuló görbületi nyomás megfelelő legyen.
Gyakorlati szempontból a megoldásban szereplő

1 / \sqrt[]{1 + m^{2}}

szorzó elhagyható, mert általában

m^{2} ≪ 1

. Ez az egyszerűsítés az

R = r

közelítésnek felel meg.

Pintér Klára (Szeged, Ságvári E. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. Vizsgáljuk a stabilitási viszonyokat! A folyadékmagasságot pl. egy kicsit csökkentve, megváltozik a hidrosztatikai és a görbületi nyomás is. Ha a

p_{g} - p_{h}

eredő nyomás előjele ekkor pozitív, akkor a görbületi nyomás a folyadékszintet az eredeti magasságba húzza vissza, ellenkező esetben az egyensúly instabil.
Ennek alapján mondhatjuk, hogy az a), b) és a két c) közül a kisebb

h

-hoz tartozó állapot stabil, a c) eset nagyobb

h

-hoz tartozó megoldása instabil. A d) eset instabil, mert bár lefelé való elmozdításra stabil, a folyadékszintet egy kicsit emelve a folyadék felszalad.

Szathmári Attila (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o. t.)