Kezdőlap


Feladat:	1127. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Benesóczki Dezső , Czompó József , Jantner István , Juhász Imre , Mester Tamás , Sparing László
Füzet:	1973/december, 232 - 233. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Párhuzamos erők eredője, Felhajtóerő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/április: 1127. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Amíg $x < l$ , a kötél laza, a rúd a víz felszínén úszik, $φ = 0^{\circ}$ .
$x > l$ esetén a rúdra ható erők (l. ábra) $G$ súlyerő, $F$ felhajtóerő, $K$ kötél erő.

1. ábra

Egyensúly esetén az erők eredője és egy tetszőlegesen kiszemelt pontra vonatkoztatott forgatónyomatékuk összege nulla. Az erők egyensúlyi feltételéből következik, hogy a kötél csak függőlegesen állhat, hiszen

F

-nek és

G

-nek nincs vízszintes komponense, így

K

-nak sem lehet.
Az egyensúly feltétele:

\begin{matrix} G + K - F = 0, \end{matrix}

(1)

valamint

\begin{matrix} G \cdot (L / 2) cos φ - F \cdot [(x - l) / 2] \cdot ctg φ = 0. \end{matrix}

(2)

A (2) egyenletbe helyettesítve a

\begin{matrix} G = q \cdot L \cdot ϱ \cdot g \end{matrix}

és

\begin{matrix} F = q \frac{x - l}{sin φ} \cdot ϱ_{0} \cdot g \end{matrix}

összefüggéseket (

ϱ_{0}

a víz sűrűsége,

\frac{x - l}{sin φ}

a rúd vízbe lógó részének hossza),

φ

értékére

\begin{matrix} sin φ = \sqrt[]{\frac{ϱ_{0}}{ϱ}} \cdot \frac{x - l}{L} \end{matrix}

(3)

adódik.
Az összefüggés

x = l

-re megadja a

φ = 0^{\circ}

-ot.
Az

x = l + L \sqrt[]{\frac{ϱ}{ϱ_{0}}}

értéknél

sin φ = 1

, ennél nagyobb

x

-ekre a (3) egyenletből

sin φ > 1

adódna, ami nem lehetséges. A (3) egyenletet (2)-ből

cos φ

-vel való osztással nyertük, feltételezve, hogy

cos φ \neq 0

. Mivel a (2) egyenlet az

x > l

tartományban minden

x

-re érvényes, ezért

x > l + L \sqrt[]{\frac{ϱ}{ϱ_{0}}}

esetben szükségképpen

cos φ = 0

, azaz

φ = 90^{\circ}

.
Összefoglalva:

\begin{matrix} sin φ = {\begin{matrix} 0, & ha x ≦ 1, \\ \sqrt[]{\frac{ϱ_{0}}{ϱ}} \frac{x - l}{L}, & ha l ≦ x ≦ l + L \sqrt[]{\frac{ϱ}{ϱ_{0}}}, \\ 1, & ha x ≧ l + L \sqrt[]{\frac{ϱ}{ϱ_{0}}} . \end{matrix} \end{matrix}

2. ábra

Mester Tamás (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Több megoldó abból, hogy a rúd függőlegesen áll, hibásan arra következtetett, hogy a

K

kötélerő nulla, és a felhajtóerő és a súlyerő megegyezik. Tekintve azonban, hogy a felhajtóerő a vízbe lógó rész térfogatától függ,

F

mindaddig nő, amíg a vízszint el nem éri az

l + L

magasságot. Ugyanígy a kötélerő is változik az (1) egyenletnek megfelelően.

x = l + L

-től mind a felhajtóerő, mind a kötélerő állandó:

K_{{max}_{}^{}} = F_{{max}_{}^{}} - G

ahol

F_{{max}_{}^{}} = q \cdot L \cdot ϱ_{0} \cdot g)