Kezdőlap


Feladat:	1122. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Biczók László
Füzet:	1973/november, 182 - 184. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Úszás-stabilitás, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/március: 1122. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az üvegcső megfordításakor a homok a homokóra felső részében helyezkedik el. Az óra súlypontja szintén a felső részben van. A metacentrum (az egész test víz alatt van) egybeesik a felhajtóerő támadáspontjával, a geometriai középpontban van. Mivel a metacentrum a súlypont alatt van, a homokóra egyensúlyi helyzete instabil, a súlyerő és a felhajtóerő forgatónyomatékainak különbsége elforgatja a homokórát. Ezt a forgatónyomatékot a homokóra és az üvegcső érintkezési pontjainál fellépő nyomóerők egyenlítik ki. A nyomóerők következtében fellépő súrlódási erők (amelyek természetesen a nyomatéki egyensúlyhoz is hozzájárulnak) megakadályozzák az elmozdulást. A homok egyenletesen lefolyik az alsó részbe, közben a súlypont közeledik a metacentrumhoz. A nyomóerők a nyomatéki egyenletnek megfelelően csökkennek, és mivel a súrlódási erő nem lehet nagyobb a nyomóerő súrlódási együtthatószorosánál, még mielőtt a súlypont eléri a metacentrumot, a homokóra elindul felfelé.

Biczók László (Szeged, Radnóti M. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzések. 1. A feladatmegoldók többsége sikerrel készítette el az eszközt, amely csak akkor működik, ha a felhajtóerő és a súlyerő különbsége elég kicsi. A különbséget legegyszerűbben a homokóra közepére csavart fémdróttal lehet a megfelelő értékre beállítani. (Az OFOTÉRT boltokban 7 Ft-ért a célnak ideálisan megfelelő homokóra kapható.) Több megoldó kísérletileg is ellenőrizte a gondolatmenetet: ha a súlypontot mesterségesen a metacentrum alá visszük úgy, hogy a drótot nem középre, hanem az alsó hengerre tekerjük rá, a homokóra rögtön elindul felfelé várakozás nélkül.
2. A megoldók közöl senki sem utalt arra, hogy ha a homokóra átlagos sűrűsége nem kisebb, hanem egy kicsit nagyobb, mint a vízé, a szerkezet hasonlóan működik. Ilyenkor a homokóra fent várakozik, és egyensúlyi helyzete lent van.
3. A megoldásban közölt gondolatmenetet számolással is követhetjük. Vezessük be a következő jelöléseket. A homokóra súlya

G

, a felhajtóerő

F

. A nyomóerők jele legyen

N_{1}

és

N_{2}

, a súrlódási erőké

S_{1}

és

S_{2}

. Legyen a homokóra magassága

l

, a függőlegessel bezárt szöge

α

, a súlypont és a geometriai középpont távolsága

x

Az erők és a középpontra vonatkoztatott forgatónyomatékok egyensúlyának egyenletei:

\begin{matrix} S_{1} + S_{2} + G - F = 0, \\ N_{1} - N_{2} = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} N_{1} (l / 2) cos α + N_{2} (l / 2) cos α + S_{2} (l / 2) sin α - S_{1} (l / 2) sin α - G x sin α = 0. \end{matrix}

Ha a homokóra a súrlódási erők miatt nyugalomban marad, az

S_{1} \leq μ N_{1}

és

S_{2} \leq μ N_{2}

egyenlőtlenségek érvényesek. Határesetben, amikor éppen elindul fölfelé, az

\begin{matrix} S_{1} = μ N_{1}, S_{2} = μ N_{2} \end{matrix}

egyenletek segítségével kiszámíthatjuk az ötismeretlenes egyenletrendszerből

x

értékét:

\begin{matrix} x = \frac{l}{2 μ} \frac{F - G}{G tg α} . \end{matrix}

Ha a súlypont és a középpont távolsága elérte az

x

értéket, a homokóra elindul felfelé. Most kiszámítjuk, hogy mennyi idő szükséges ehhez a fordítás után. Legyen a homok súlya

G_{1}

, az üveg és a nehezék együttes súlya

G_{0}

(G=

G_{0}

G_{1}

)

. A h o m o k e g y e n s ú l y i e s e t b e n

m a g a s s á g ú h e n g e r t k é p e z . H a a h o m o k ó r a l e c s u r g á s i i d e j e

T, t (<T)

i d ő v e l a z i n d u l á s u t á n a z a l s ó h e n g e r b e n

dt/T

m a g a s s á g ú é s

G_{1}

t/T

s ú l y ú, a f e l s ő b e n

d(1-t/T)

m a g a s s á g ú é s

G_{1}

(1-t/T)

s ú l y ú h o m o k v a n . A z a l s ó h o m o k s ú l y p o n t j a a h o m o k ó r a k ö z e p é t ő l

l/2-(1/2) dt/T

t á v o l s á g r a, a f e l s ő é

(1/2)d(1-t/T)

t á v o l s á g r a v a n . Í g y a z

t á v o l s á g o t a z

\begin{matrix} \frac{1}{2} d (1 - \frac{t}{T}) \cdot G_{1} (1 - \frac{t}{T}) - (\frac{l}{2} - \frac{1}{2} d \frac{t}{T}) \cdot G_{1} \frac{t}{T} = x (G_{0} + G_{1}) \end{matrix}

nyomatékiegyenletbőlkaphatjukmeg.Innen

\begin{matrix} t = T \frac{(2 d + l) - \sqrt[]{{(2 d + l)}^{2} - 8 d (d - 2 x G / G_{1})}}{4 d} . \end{matrix}

(Amásodfokúegyenletmásikgyökébőlt>T

a d ó d n a, í g y a z f i z i k a i l a g n e m m e g o l d á s .)

é r t é k é t b e h e l y e t t e s í t v e, a z i n d u l á s i d e j e

\begin{matrix} t = T \frac{(2 d + l) - \sqrt[]{{(2 d + l)}^{2} - 8 d^{2} + 8 l d \frac{F - G}{μ G_{1} tg α}}}{4 d} . \end{matrix}

Eredményünktermészetesencsakhozzávetőleges,ugyaniselhanyagoltukasúlypontmeghatározásánálazt,hogya,,homokhengerek''alap-ésfedőlapjanemsík.
4.Ahibásdolgozatoknagyrészeahomokórasúlycsökkenésével,illetveimpulzustétellelmagyaráztaajelenséget.Ahomokórasúlyacsakabbanazesetbencsökkenhet,hasúlypontjagyorsullefelé,ezpedigcsakazelsőpillanatbanteljesül,későbbmárasúlypontegyenletessebességgelmozog.