Kezdőlap


Feladat:	1120. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ábrahám Tibor , Kawka László , Végh János
Füzet:	1973/november, 179 - 180. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Homogén elektromos mező, Felületi töltéssűrűség, Gauss-törvény, Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos), Coulomb-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/március: 1120. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A golyóra ható elektrosztatikus teret egyrészt a lemez eredetileg meglevő homogén töltéseloszlása hozza létre, másrészt a golyó pozitív töltése a lemezen megosztással negatív töltéseket kelt, melyek szintén elektromos teret létesítenek. A szuperpozíció elv alapján a két tér által a golyóra gyakorolt erő egymástól függetlenül számítható.
a) Ha a töltéssűrűség állandó, akkor egy $x$ sugarú, $d x$ szélességű körgyűrű töltése

\begin{matrix} σ \cdot 2 π x d x . \end{matrix}

Ez a

Q

töltésre a lemezre merőleges

\begin{matrix} d F_{1} = k \frac{σ \cdot 2 π x d x \cdot Q}{l^{2}} cos α \end{matrix}

taszító erővel hat. (A körgyűrű két szemben levő azonos nagyságú eleme által a golyóra gyakorolt erőknek a lemezzel párhuzamos komponense egymás ellentettje, így a lemezzel párhuzamosan nem hat erő.)

1. ábra

Az 1. ábrából

\begin{matrix} l \frac{r}{cos α}, x = r tg α és d x = \frac{l d α}{cos α} = \frac{r d α}{cos^{2} α}, \end{matrix}

így

\begin{matrix} d F_{1} = k σ \cdot 2 π Q sin α d α, \end{matrix}

az egész lemez által a töltésre gyakorolt erő

\begin{matrix} F_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} k σ \cdot 2 π Q sin α d α = k σ \cdot 2 π Q = \frac{σ Q}{2 ε_{0}} . \end{matrix}

a')

F_{1}

meghatározható a Gauss-tétel alapján is (Feynmann V. (56.6.). Tetszőleges zárt felületre vonatkozó elektromos fluxus=körülzárt töltések összege

/ ε_{0}

.
Legyen a felület egy a lemezre merőleges, azt metsző hasáb (2. ábra).

2. ábra

Ekkor a térerősségnek a felületre merőleges komponense szimmetriaokokból csak a két alapon nem 0, a tér homogén a lemez mindkét oldalán, így fluxusa

E \cdot 2 A

. A körülzárt töltés nagysága

σ A

, így

\begin{matrix} E \cdot 2 A = \frac{σ A}{ε_{0}}, E = \frac{σ}{2 ε_{0}} vagyis F_{1} = \frac{σ Q}{2 ε_{0}} . \end{matrix}

b) A megosztással keletkezett töltések hatása ekvivalens egy ‐ a golyó lemezre vett tükörképének helyén levő ‐

(- Q)

töltés hatásával (Feynmann V. 85. o.).

3. ábra

Így a golyóra

F_{2} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{Q^{2}}{{(2 r)}^{2}}

vonzóerő hat.
A golyóra ható eredő vonzóerő

\begin{matrix} F = F_{2} - F_{1} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{Q^{2}}{{(2 r)}^{2}} - \frac{σ Q}{2 ε_{0}}, \end{matrix}

a golyó gyorsulása

\begin{matrix} a = \frac{F}{m} = 4860 {m/s}^{2} . \end{matrix}

(A nehézségi gyorsulás emellett jó közelítéssel elhanyagolható.)

Ábrahám Tibor (Eger, Gárdonyi G. Gimn., III. o. t.)

Végh János (Cegléd, Kossuth L. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Az

F = 0

feltételből meghatározható, hogy a lemeztől

r_{0} =

= 12, 6 cm

távolságban a golyó labilis egyensúlyi helyzetben van. A lemezhez közelebbi helyekről a lemez magához szippantja,

r_{0}

-nál messzebbről pedig a végtelenbe taszítja a golyót.

Kawka László (Bp., Radnóti M. Gimn., IV. o. t.)