Kezdőlap


Feladat:	1119. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Holics László
Füzet:	1974/március, 140 - 141. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Egyenletesen változó mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/március: 1119. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megjegyzés a 1119. feladat megoldásához

Oldjuk meg a feladatot az analízis görbületi körre vonatkozó (középiskolában nem tanított) formuláinak felhasználása nélkül. A KML 1036., 1053., 1100., 1156. számú feladatok megoldásánál alkalmazott gondolatmenetet használhatjuk, melynek lényege: a pályagörbe görbületi sugarát megkapjuk, ha a pont pillanatnyi sebességének a négyzetét elosztjuk a gyorsulás normális irányú vetületével. (Az 1100. feladat megoldása éppen így határozza meg egy parabolapálya görbületi sugarát adott pontjában.)
Az 1119. feladat azonban lényegesen különbözik az 1100. feladattól. A parabola alakú sima kényszeren kezdősebesség nélkül lecsúszó test adott pontbeli gyorsulása ugyanis ismeretlen (a nehézségi erő és a keresett kényszererő eredőjének egyelőre ismeretlen irányába mutat). Ennek ellenére az előre rögzített parabolapálya görbületi sugara meghatározható a fenti módszerrel. Egyszerű fogással "átjátszhatjuk'' a problémát az előző (1100.) feladat megoldására. Ha ugyanis megkeressük azt a vízszintes hajítást, amellyel az eldobott kő éppen a kívánt pályán haladna (ez megtehető, mert a kényszer parabola alakú), vagyis a lejtőre való nehézkedés nélkül suhanna el a pálya mentén, akkor ennek, és egyben a kényszerpályának a görbületi sugarát meghatározhatjuk az ismert normál gyorsulásból és sebességből.

A megoldás menete a következő. A kényszerpálya egyenlete a feladat szerint

\begin{matrix} y = (1 / 2 p) x^{2} . \end{matrix}

Egy vízszintesen elhajított test pályájának az egyenlete:

\begin{matrix} y = (1 / 2) (g / v_{0}^{2}) x^{2} . \end{matrix}

A két egyenlet összehasonlításából:

\begin{matrix} (1 / 2) (g / v_{0}^{2}) = 1 / 2 p, \end{matrix}

és innen az igényelt vízszintes irányú kezdősebesség:

v_{0} = \sqrt[]{p g}

. Ennek ismeretében meghatározhatjuk az elhajított (tehát a kényszerpályát kényszer nélkül leíró) test sebességét a kívánt helyen:

\begin{matrix} v = \sqrt[]{2 g h + v_{0}^{2}} . \end{matrix}

Ugyanitt a pálya normálisának iránykoszinusza az ábra szerint:

\begin{matrix} cos α = \frac{v_{0}}{\sqrt[]{2 g h + v_{0}^{2}}} . \end{matrix}

(mert

v_{x} = v_{0}

).
Az elhajított test gyorsulása természetesen

g

, s ennek normális irányú vetülete:

\begin{matrix} a_{n} = g \cdot cos α = \frac{v_{0} g}{\sqrt[]{2 g h + v_{0}^{2}}} . \end{matrix}

Így az eldobott kő pályájának (és egyben a kényszerfelületnek) a görbületi sugara a

h

süllyedésének megfelelő pontban:

\begin{matrix} R = \frac{v^{2}}{a_{n}} = \frac{\sqrt[]{2 g h + v_{0}^{2}} {(2 g h + v_{0}^{2})}^{1}}{v_{0} g} = \frac{{(2 g h + v_{0}^{2})}^{3 / 2})}{v_{0} g} . \end{matrix}

Ezzel a feladat az ismert módon megoldható.
Írjuk fel a mozgásegyenletet a normál irányúvetületre:

m g cos α - K = {m v}^{* 2} / R

ahol

v^{*}

a lejtőn kezdősebesség nélkül lecsúszó test pillanatnyi sebessége

h

süllyedés után:

v^{2} = 2 g h

. Innen a keresett kényszererő:

\begin{matrix} K = m g (\frac{v_{0}}{\sqrt[]{2 g h + v_{0}^{2}}} - \frac{2 g h v_{0}}{{(2 g h + v_{0}^{2})}^{3 / 2}}) . \end{matrix}

v_{0}

helyébe

\sqrt[]{p g}

értéket beírva és az összevonásokat elvégezve:

\begin{matrix} K = m g {(\frac{p}{2 h + p})}^{3 / 2} . \end{matrix}