Kezdőlap


Feladat:	1119. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ábrahám Tibor
Füzet:	1973/november, 178 - 179. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Egyenletesen változó mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/március: 1119. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyezzük a testet az ábra szerinti koordináta-rendszerbe.

Ebben a pálya egyenlete:

\begin{matrix} y = (1 / 2 p) x^{2}, így x_{h} = \pm \sqrt[]{2 p h} . \end{matrix}

A görbe pályán való mozgáskor a test pályára merőleges gyorsulása

\begin{matrix} a_{m} = v^{2} / R, \end{matrix}

ahol

v

a test sebessége a pálya adott pontjában,

R

pedig a pálya görbületi sugara. Az ehhez a gyorsuláshoz szükséges erő a pálya

K

kényszererejének és a nehézségi erő pályára merőleges komponensének az eredője:

\begin{matrix} m \cdot a_{m} = m v^{2} / R = m g \cdot cos α - K, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} K = m g \cdot cos α - m v^{2} / R . \end{matrix}

A görbületi sugár

\begin{matrix} R = \frac{{(f'^{2} (x) + 1)}^{3 / 2}}{f'' (x)}, \end{matrix}

jelen esetben

\begin{matrix} f' (x) = \frac{d y}{d x} = \frac{x}{p} = tg α, f'' (x) = \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{p} . \end{matrix}

A képletben szereplő

m v^{2}

-et az energiamegmaradás felhasználásával számoljuk ki:

\begin{matrix} (1 / 2) m v^{2} = m g y = m g (1 / 2 p) x^{2}, m v^{2} = m g x^{2} / p . \end{matrix}

K

kifejezésébe helyettesítve az

\begin{matrix} R = p {(\frac{x^{2}}{p^{2}} + 1)}^{3 / 2}, m v^{2} = m g \frac{x^{2}}{p} és cos α = \frac{1}{\sqrt[]{1 + {tg}^{2} α}} = \frac{1}{{(x^{2} / p^{2} + 1)}^{1 / 2}} \end{matrix}

értékeket,

\begin{matrix} K = m g \frac{1}{{(x^{2} / p^{2} + 1)}^{3 / 2}} = m g {(\frac{p}{2 h + p})}^{3 / 2} . \end{matrix}

A test akkor hagyhatja el a lejtőt, ha

K

nullává válik. Ez azonban nem következik be, tehát a test végig a parabolalejtőn marad.

K

értéke

h = 4 m

süllyedés után:

\begin{matrix} K = {(1 / 5)}^{3 / 2} N = 0, 0894 N . \end{matrix}

Az, hogy

K

mindig pozitív, belátható a következő gondolatmenettel is. Dobjunk el vízszintesen

v

sebességgel egy testet ! Ennek a pályája az

y = (g / 2) (x^{2} / v^{2})

parabola lesz. Ha

v = \sqrt[]{g p}

, a test az adott lejtő mentén fog esni, de úgy, hogy közben

K = 0

, azaz

\begin{matrix} m g cos α = m a'_{m} . \end{matrix}

Mivel a

v = 0

sebességgel indított test sebessége a parabola tetszőleges pontjában kisebb, mint a kezdősebességgel indított test sebessége,

a_{m}' > a_{m}

, így

\begin{matrix} m g cos α > m a_{m}, K = m g cos α - m a_{m} > 0. \end{matrix}

Ábrahám Tibor (Eger, Gárdonyi G. Gimn., III. o. t.)