Kezdőlap


Feladat:	1114. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fagyas László , Fodor László
Füzet:	1973/november, 174 - 175. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/március: 1114. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. $t_{0}$ idő alatt a kő (1/2) $g t_{0}^{2}$ , a lift $v_{0} t_{0}$ utat tesz meg. Tegyük fel, hogy ezalatt a kő nem éri utol a liftet, azaz igaz az

\begin{matrix} s_{0} > (g / 2) t_{0}^{2} - v_{0} t_{0} \end{matrix}

(1)

egyenlőtlenség.
Amikor a kötelet elvágjuk, a kő

g t_{0}

, a lift

v_{0}

sebességgel rendelkezik; az elvágástól mért

t

idő múlva tehát az általuk megtett út:

\begin{matrix} s_{k} = (g t_{0}) t + (1 / 2) g t^{2}, & (2) \\ s_{l} = v_{0} t + (1 / 2) g t^{2} . & (3) \end{matrix}

Az útkülönbség az időben az

\begin{matrix} s_{l} - s_{k} = (v_{0} - g t_{0}) t \end{matrix}

(4)

összefüggésnek megfelelően változik. Ha tehát

\begin{matrix} v_{0} \geq g t_{0}, \end{matrix}

(5)

a távolság köztük nő vagy nem változik, míg ha

v_{0} < g t_{0}

, a kő utoléri a liftet.
Az (5) egyenlőtlenség egyben magában foglalja az (1) összefüggést is. Amennyiben ugyanis

s_{0} > 0

tetszőleges érték, a

0 > (1 / 2) g t_{0}^{2} - v_{0} t_{0}

, azaz

v_{0} t_{0} > (1 / 2) g t_{0}^{2}

egyenlőtlenség nyilvánvalóan teljesül, mert

v_{0} \geq g t_{0}

.
Az ütközés elkerülésének egyedüli feltétele tehát:

v_{0} \geq g t_{0}

Fagyas László (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Szemléletes megoldást kapunk, ha elkészítjük az egyes testek sebesség-idő grafikonját. Bármilyen szabadon eső test sebességének függvénye

v (t) = v (0) + g t

alakú

(v (0)

t = 0

pillanatbeli sebesség), azaz a

t \to v (t)

grafikonon a szabadon eső testek mozgását azonos meredekségű ‐ párhuzamos ‐ egyenesek ábrázolják.
A lift

t_{0}

ideig állandó sebességgel mozog (vízszintes szakasz), majd a

t = t_{0}

pillanattól szabadon esik. A

t = 0

-ban elejtett kő mozgását a

v (t) = g t

egyenes ábrázolja.
Az 1. ábrán látható, hogy ha

t_{0} < v_{0} / g

, akkora lift sebessége mindig nagyobb a kő sebességénél, a görbe alatti területek különbsége ‐ ami az útkülönbség ‐ mindig pozitív.

1. ábra

t_{0} = v_{0} / g

(2. ábra), akkor a

t = t_{0}

pillanattól a sebességek megegyeznek, de az útkülönbség állandó ‐ az

O A B

háromszög területe

+

a kezdeti

s_{0}

előny. A kő ekkor sem éri utol a liftet.

2. ábra

t_{0} > v_{0} / g

esetben (3. ábra) a két grafikon metszi egymást, az útkülönbség valamilyen

t'

idő múlva nullává válik, a kő nekiütközik a liftnek

(T_{B C D E} =

= T_{O A B} + s_{0})

3. ábra

A grafikonokból kitűnik, hogy miért nem függ a megoldás az

s_{0}

értéktől.

Fodor László (Vác, Sztáron S. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. A mozgás tárgyalása történhet út-idő grafikon segítségével is.