Kezdőlap


Feladat:	1109. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Mester Tamás
Füzet:	1973/október, 93 - 94. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kepler II. törvénye, Mars, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/február: 1109. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vezessük be az ábrán látható jelöléseket!

Kepler II. törvénye szerint a Mariner ‐9 által időegység alatt súrolt terület (

h

) a pálya bármely pontjában ugyanakkora. Így a Mars-közeli, ill. -távoli pontokban

\begin{matrix} h = (1 / 2) r_{a} v_{a}, & (1) \\ h = (1 / 2) r_{p} v_{p} . & (2) \end{matrix}

Mivel az ellipszis

a b π

területét

T

keringési idő alatt súrolja a hold rádiuszvektora, ezért

\begin{matrix} h = \frac{a b π}{T} . \end{matrix}

(3)

Az energiamegmaradás tételéből következően a Mariner ‐9 energiája a pálya bármely két pontjában megegyező. Az

A

, ill. a

P

pontokban (egységnyi tömegre):

\begin{matrix} \frac{1}{2} v_{a}^{2} - \frac{γ M}{r_{a}} = \frac{1}{2} v_{p}^{2} - \frac{γ M}{r_{p}} . \end{matrix}

(4)

Az (1) és (2) egyenletekből kifejezett sebességeket helyettesítsük be (4)-be

\begin{matrix} 2 h^{2} = γ M \frac{r_{a} r_{p}}{r_{a} + r_{p}} . \end{matrix}

(5)

Ezek után használjuk fel a területi sebesség (3) alatti kifejezését, ill. az ellipszis adatai közti ismert összefüggéseket:

\begin{matrix} r_{a} + r_{p} = 2 a, r_{a} r_{p} = (a - c) (a + c) = a^{2} - c^{2} = b^{2} . \end{matrix}

(5)-be való helyettesítés és rendezés után

\begin{matrix} a = \sqrt[3]{\frac{γ M T^{2}}{4 π^{2}}} . \end{matrix}

(6)

A numerikus értékek

(y = 6, 67 \cdot 10^{- 11} m^{3} / s^{2} kg

M = 6, 4 \cdot 10^{23} kg

T = 45 420 s)

behelyettesítése után a nagytengely felére

a = 13 050 km

adódik.
A Mariner ‐9-nek a Mars felszínétől mért legnagyobb távolsága

\begin{matrix} r_{max} = 2 a - r_{a} - R . \end{matrix}

(7)

Mivel

r_{a} = 4720 km

R = 3340 km

2 a = 26 100 km

, a kérdéses távolság

r_{max} = 18 040 km

Mester Tamás (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o. t.)