Kezdőlap


Feladat:	1106. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szegedi Ervin
Füzet:	1973/október, 90 - 91. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/február: 1106. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat szerint a testek kezdetben nyugalomban vannak. Ezért mindegyik test gyorsulása az $F$ erő irányával azonos irányú lesz a mozgás során. Az ábrán feltüntettük az egyes testekre ható vízszintes irányú erőket (a függőleges irányú erők eredője nulla), valamint a gyorsulásokat.

A két felső testet állandó hosszúságú fonál köti össze, ezért gyorsulásuk azonos (

a

). Az alsó testek gyorsulásai

A_{1}

és

A_{2}

;

K

a kötélerő,

S_{1}

és

S_{2}

a súrlódási erők. A négy testre külön-külön felírjuk a mozgásegyenletet:

\begin{matrix} M A_{1} & = F - S_{1}, & (1) \\ M A_{2} & = S_{2}, & (2) \\ m a & = S_{1} - K, & (3) \\ m a & = K - S_{2} . & (4) \end{matrix}

Ez a négy egyenlet hat ismeretlent tartalmaz (

A_{1}

A_{2}

a

S_{1}

S_{2}

K

). A hiányzó két egyenletet a két súrlódó felület mentén a súrlódási erők, illetve kényszerfeltételek adják meg.
Tegyük fel, hogy az

m_{2}

tömegű test csúszik az

M_{2}

tömegű testen. A súrlódási erő

\begin{matrix} S_{2} = μ m g, \end{matrix}

azaz (2)-ből

\begin{matrix} A_{2} = \frac{μ m g}{M} . \end{matrix}

A (3) és (4) egyenlet összegéből viszont

\begin{matrix} a = \frac{S_{1} - S_{2}}{m} = \frac{S_{1} - μ m g}{m} . \end{matrix}

Mivel

S_{1}

nem lehet nagyobb mint

μ m g

, azt kapjuk, hogy a felső testek gyorsulása nulla, emiatt

A_{2}

is nulla, ami viszont ellentmondásban van a csúszás feltételével, azaz hogy

A_{2} = μ m g / M

. A hátsó testek tehát nem csúszhatnak egymáson. Az egyenletrendszer ötödik egyenlete így:

\begin{matrix} a = A_{2} . \end{matrix}

(5)

A hatodik egyenlet attól függ, hogy az

m_{1}

és

M_{1}

tömegű testek között csúszás vagy tapadás van:

\begin{matrix} tapadás esetén a = A_{1} (S_{1} \leq μ m g), & (6a) \\ csúszásnál S_{1} = μ m g (a \leq A_{1}), & (6b) \end{matrix}

ahol a zárójelben a tapadás, illetve a csúszás feltételét kifejező egyenlőtlenség szerepel. Határesetben a (6a) és (6b) egyenlet egyszerre áll fenn, azaz a feltételek egyenlőségekbe mennek át. Az így kapott, hét egyenletből álló egyenletrendszer hetedik ismeretlene a

μ_{0}

határ súrlódási együttható, amelynél nagyobb

μ

-re tapad, kisebbre csúszik az első két test egymáson. A határ súrlódási együttható az egyenletrendszerből kifejezhető:

\begin{matrix} μ_{0} = \frac{F (2 m + M)}{2 m g (M + m)} . \end{matrix}

μ \geq μ_{0}

, a mozgást az (1), (2), (3), (4), (5), (6a) egyenletrendszer írja le, a gyorsulások ekkor:

\begin{matrix} a = A_{1} = A_{2} = \frac{F}{2 (m + M)} . \end{matrix}

μ \leq μ_{0}

, az (1), (2), (3), (4), (5), (6b) egyenletrendszert kell megoldani, ekkor:

\begin{matrix} a = A_{2} = \frac{μ m g}{2 m + M}, A_{1} = \frac{F - μ m g}{M} . \end{matrix}

Szegedi Ervin (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján