Kezdőlap


Feladat:	1101. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázs Árpád , Bari Ferenc
Füzet:	1973/szeptember, 40 - 41. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb gördülés (Gördülés), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/január: 1101. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábrán látható jelöléseket alkalmazva írjuk fel a mozgásegyenleteket az $m$ és $M$ tömegű testek tömegközéppontjára:

\begin{matrix} m g & - K = m a_{1}, & (1) \\ M g & + K - F = M a_{2}, & (2) \\ F r & = Θ β, & (3) \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} Θ = (1 / 2) M r^{2} \end{matrix}

(4)

a korong tehetetlenségi nyomatéka.
Kényszerfeltétel a kötél nyújthatatlansága, ahonnan

\begin{matrix} a_{1} = a_{2} (= a), \end{matrix}

(5)

és a henger tiszta gördülése miatt

\begin{matrix} a_{2} = r β . \end{matrix}

(6)

Az egyenletrendszer megoldása:

\begin{matrix} a & = \frac{2 (m + M) g}{2 m + 3 M}, & (7) \\ K & = \frac{m M g}{2 m + 3 M}, & (8) \\ F & = \frac{M (m + M) g}{2 m + 3 M} . & (9) \end{matrix}

Bari Ferenc (Csongrád, Batsányi Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. A forgásra vonatkozó egyenletet a pillanatnyi forgástengelyre is felírhatjuk. Ez ‐ mivel a henger nem csúszhat ‐ a henger és a lecsavarodó kötél érintkezési pontja. A (3) egyenlet helyett az

\begin{matrix} (m g + K) r = Θ p β \end{matrix}

(3')

egyenletet alkalmazhatjuk, ahol a kerületi pontra vonatkoztatott

Θ p

tehetetlenségi nyomatékot a Steiner-tétellel számítjuk:

\begin{matrix} Θ p = Θ + M r^{2} = (3 / 2) M r^{2} . \end{matrix}

(4')

Mester Tamás (Szombathely, Nagy L. Gimn., III. o. t.)

II. megoldás. Alkalmazva az energiamegmaradás tételét, kapjuk

\begin{matrix} (M + m) g h = (1 / 2) m v^{2} + (1 / 2) M v^{2} + (1 / 2) Θ ω^{2} . & (10) \\ Itt h = (1 / 2) a t^{2}, a t idő alatt megtett utat, & (11) \\ v = a t pedig a pillanatnyi sebességet jelenti. & (12) \end{matrix}

(

t = 0

-kor engedtük el a rendszert.)
Az egyik kényszerfeltételt hallgatólagosan felhasználtuk

(v_{m} = v_{M} = v)

, míg a tökéletes gördülés feltételéből származó összefüggés:

\begin{matrix} ω = v / r . \end{matrix}

(13)

A (10) ‐ (13) egyenletekből a gyorsulásra ugyanazt az értéket kapjuk, mint az (1) ‐ (6) egyenletekből A kötelekben ható erő kiszámításához ‐

a

ismeretében ‐ célszerű az (1), (2) egyenletekhez visszatérni, ahonnan:

\begin{matrix} K = m (g - a), & (14) \\ F = (m + M) (g - a) . & (15) \end{matrix}

Balázs Árpád (Eger, Gárdonyi G. Gimn., III. o. t.)