Feladat:	1096. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bóc István ,  Prőhle Péter
Füzet:	1973/május, 231 - 232. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Lineáris gyorsító, Relativisztikus energia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/december: 1096. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   A lineáris gyorsító egymás utáni csövekből áll, amelyek felváltva vannak egy nagyfeszültségű váltakozó feszültségforrás egy-egy sarkára kötve. A töltött részecskék a csövekben állandó sebességgel haladnak, sebességük csak a csövek között változik az elektromos tér hatására. Akkor a leghatásosabb a gyorsítás, ha a csövek végén a részecske mindig a legnagyobb gyorsító feszültséggel találja magát szemben, azaz ha a csövek olyan hosszúak, hogy az egyik cső végétől a következő végéig a részecske félperiódusnyi idő al att jut el. Az ábra jelöléseivel ($t_j$ a csövek között töltött idő, $f$ a feszültség frekvenciája):     $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(l_j/v_j\right)+t_j=1/2f\mathrm{.}}\end{array}$ (1) A csövek között létrejövő sebességváltozást akkor tudjuk könnyen számolni, ha az átrepülés során a feszültség állandónak tekinthető, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle t_j\ll 1/2f\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Ezt úgy valósíthatjuk meg, hogy a csöveket egymáshoz a lehető legközelebb tesszük. Ekkor a részecske mozgási energiája minden gyorsításnál $qU$-val növekszik. Ha a részecske kezdősebesség nélkül indult, akkor a $j$-edik csőben ($j$-szeri gyorsítás után) $\begin{array}{c}{\displaystyle m{v}_j^2/2=jqU\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Az (1) és a (3) összefüggésekből már kiszámíthatjuk a sebességeket és a csövek hosszát, ha (2) feltételnek megfelelően $t_j$-t elhanyagoljuk $1/2f$ mellett. $\begin{array}{c}{\displaystyle v_j=\sqrt[]{\frac{2jqU}{m}}=v_1\sqrt[]{j}\mathrm{,}{l}_j=\frac{1}{2f}{v}_j=l_1\sqrt[]{j}}\end{array}$ (4) A feladat számértékeivel: $\begin{array}{c}{\displaystyle l_1=0\mathrm{,}99\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}\mathrm{,}{v}_1=5\mathrm{,}97\cdot {10}^7\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m/s.</span>}}\end{array}$    Győri József (Debrecen, Református Gimn., IV. o. t.)   Megjegyzés. Az elektron már az első csőben is a fénysebesség egyötödével egyenlő sebességgel halad. Ezért az első néhány csőtől eltekintve helyes, ha a relativisztikus energiakifejezést használjuk. A (3) egyenlet most így módosul: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{m{c}^2}{\sqrt[]{1-v_j^2/c^2}}-m{c}^2=jqU\mathrm{.}}\end{array}$ (5) Ebből $v_j$-t kifejezve: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_j=c\frac{\sqrt[]{jqU}}{jqU+m{c}^2}\cdot \sqrt[]{jqU+2m{c}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ (6) Hasonlítsuk ezt össze az előző eredménnyel. Az első néhány csőre közelítőleg ugyanakkora sebességet kapunk, mint a (4) kifejezésből. Azonban amíg (4) tetszőlegesen nagy végsebességet megengedett, addig most $\begin{array}{c}{\displaystyle v_j<c\mathrm{.}}\end{array}$ (Hiszen $m{c}^2$ elhagyásával a tört értéke növekedett.) A részecske nem gyorsulhat a fénysebességnél nagyobb sebességre, bár elég sok csövet használva, tetszőlegesen megközelítheti azt. E határesetben a csövek hossza $\begin{array}{c}{\displaystyle c/2f=5\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}\mathrm{.}}\end{array}$ Mindezt jól szemlélteti a mellékelt grafikon és a táblázat, amelyben néhány, a feladat adataival klasszikusan, ill. relativisztikusan számolt sebességértéket hasonlítunk össze. (Az adatokat Prőhle Péter számítógéppel nyerte.)