A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Válasszunk forgó koordináta-rendszert, melyben a rúd nyugszik és rajzoljuk fel a rúdra ható erőket, figyelembe véve, hogy az 1014. feladat megoldása szerint a rúd egyes pontjaira ható centrifugális erők hatása két, a rúd végeitől távolságban támadó nagyságú erővel helyettesíthető (1. ábra).
1. ábra Az egyensúly feltétele az erőkre:
és a forgatónyomatékra: | | (3) | ahol a rúd vízszintessel bezárt szöge. Tudjuk, hogy a súrlódási erő abszolút értéke nem lehet nagyobb a nyomóerő és a súrlódási tényező szorzatánál:
Kérdés, hogy milyen érték mellett teljesülnek az egyenletek és a feltételek. Az (1) egyenlet felhasználásával és az jelöléssel a (2) és (3) egyenletekből a következő képleteket kapjuk :
Ábrázoljuk -et és -t mint függvényét, és grafikonon tüntessük fel az egyeneseket is ! Ha akkor a 2. ábrán látható görbéket kapjuk.
2. ábra A pontozott vonal felel meg annak az esetnek, amikor szaggatott vonalat esetén kapjuk. A (4), (5) feltétel teljesül, ha a (6), (7) függvények görbéje a feltételeket ábrázoló szögtartományon belül halad. Látható, hogy az első esetben lehetséges pozitív értékei között nincs olyan, amelynél az (5) feltétel teljesülne. ( görbéje sohasem kerül a szögtartományon belülre.) Ha viszont , akkor lehetséges egyensúlyi helyzet, mert elég nagy nyomóerőkre mindkét függvény képe a szögtartomány belsejében van. Érdekesebb a helyzet, ha mert ekkor az -nál negatív érték (3. ábra).
3. ábra Itt a következő lehetőségek vannak. Ha , akkor biztos van olyan , melynél a (4), (5) feltételek együtt teljesülnek (szaggatott vonal). Ha , akkor bizonyos esetekben még mindig lehetséges egyensúlyi helyzet (pontozott vonal), de nincsen mindig egyensúly. Az függvényből az , az függvényből az feltételt kapjuk, és ha , akkor van olyan , amely mindkét kikötést teljesíti. Pl. nagyon kicsi értékeknél nem ez a helyzet , pont-vonallal ábrázolva), és nem lehetséges egyensúly. Határesetben és figyelembe véve, hogy a metszéspontok koordinátája
kapjuk, hogy Végeredményben a
feltételek egyikének teljesítésekor lehet a rúd nyugalomban. Mivel azonban a fenti számítás (9) alapján csak esetén érvényes, nyilvánvaló, hogy (13) teljesülésekor (14) is igaz, és a két feltétel valójában egy. Figyelembe véve a centripetális erő értékét : Vizsgáljuk meg az eredmény fizikai jelentését ! azt jelenti, hogy a rúd a forgási sebességtől függetlenül beleszorul a hengerbe. Lehetséges, hogy a geometriai viszonyok ezt nem engedik meg, azonban ha a szögsebesség elég nagy, és teljesül a (9) feltétel: | | (16) | akkor még így is lehetséges stabil helyzet a (15)-ben megszabott súrlódási tényező esetén. Megkérdezhetjük, hogy adott súrlódási tényező mellett mekkora erő nyomja a henger falát, és mekkorák a súrlódási erők. Az esetek többségében erre a kérdésre nem tudunk pontos választ adni, aminek az a magyarázata, hogy a vizsgált szerkezet sztatikailag határozatlan, a három egyenletből álló (1), (2), (3) egyenletrendszer négyismeretlenes. (Sztatikailag határozatlan szerkezetek csak akkor számíthatók, ha a rugalmasságtan egyenleteit is figyelembe vesszük.) Módszereinkkel az erők egyértelmű meghatározása csak akkor lehetséges, ha teljesül a (9) feltétel és a (12) egyenlőség, vagyis ha az nyomóerő maximális és minimális értéke egybeesik. (10)-ből vagy (11)-ből kapjuk, hogy , és (1), (2), (3) mellé ezt negyedik egyenletnek véve a megoldás: Megjegyzés. A megoldók többsége a számítás kiinduló pontjának ‐ alaptalan szimmetria meggondolásokból ‐ az egyenletet tekintette. Láthatjuk, hogy ez csak egy nagyon speciális érték mellett teljesül, és bizonyos mértékig szerencse, hogy így is a helyes eredményt kapjuk. A fenti hiba miatt senki sem vette észre, hogy esetén a rúd az álló hengerben is benne marad. |