Kezdőlap


Feladat:	1085. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kovács Imre , Tarjányi László
Füzet:	1973/április, 179 - 181. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Forgási energia, Egyéb rögzített tengely körüli forgás, Csúszó súrlódás, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/november: 1085. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az asztalra helyezett korong mozgását csak a súrlódási erő befolyásolja. A súrlódási erőről tudjuk, hogy a testek érintkezési felületének minden pontján hat és haladó mozgást végző test esetén az iránya a sebességgel ellentétes, nagysága pedig a felületeket összenyomó erővel arányos.
Egy összetett mozgást végző test esetén úgy járunk el, hogy a testet kicsiny darabokra osztjuk, amelyekre már az előzőek alapján a súrlódási erőt ki tudjuk számítani.
Kezdetben a korong súlypontjának a sebessége nulla. A korong átellenes pontjaiban ható súrlódási erők csak abban különböznek, hogy irányuk, a sebességeknek megfelelően, ellentétes. Így a súrlódási erők eredője nulla, s a korong súlypontja mindvégig helyben marad, a korong csak forogni fog.
Ennek leírásához a súrlódási erők forgatónyomatékát kell meghatároznunk. Osszuk fel (az 1. ábra szerint) a korongot $n db$ azonos cikkre.

1. ábra

n

elég nagy, akkor egy kiszemelt cikken belül a sebesség, s így a súrlódási erő minden pontban azonos irányúnak vehető. A cikk egyes pontjaiban ható súrlódási erők eredője hasonlóképpen nyerhető, mint a nehézségi erők eredője: az eredő a cikk súlypontjában ható, a sugárra merőleges irányú, a síkban ható

μ (m / n) \cdot g

nagyságú erő. Ha

n

elég nagy, akkor egy cikk jó közelítéssel egy

R

magasságú egyenlőszárú háromszögnek tekinthető, ennek súlypontja pedig

(2 / 3) R

távolságra van a korong tengelyétől. Így, ha a forgásirányt vesszük pozitív iránynak, a súrlódási erők forgatónyomatéka egy kiszemelt cikkre nézve:

\begin{matrix} M_{n} = - (2 / 3) μ (m / n) \cdot g \cdot R, \end{matrix}

az egész korongra pedig

\begin{matrix} M = - (2 / 3) μ m g R . \end{matrix}

A továbbiakban a gyorsuló forgómozgás egyenleteit használjuk. A korong szöggyorsulása

\begin{matrix} β = \frac{M}{Θ} = \frac{- (2 / 3) μ m g R}{(1 / 2) m R^{2}} = - (4 / 3) μ g / R . \end{matrix}

Megálláskor a korong szögsebessége zérus:

\begin{matrix} 0 = ω_{0} + β t, \end{matrix}

tehát a megállásig

\begin{matrix} t = \frac{3}{4} \frac{ω_{0} R}{μ g} \end{matrix}

idő telik el. Ezalatt a korong

\begin{matrix} n = \frac{α}{2 π} = \frac{1}{2 π} [ω_{0} t + (β / 2) t^{2}] = \frac{3}{16 π} \cdot \frac{ω_{0}^{2} R}{μ g} \end{matrix}

fordulatot tesz meg.
A súrlódási erőnek a lefékezés közben végzett munkája a mozgási energia megváltozásával, azaz a teljes kezdeti mozgási energiával egyenlő:

\begin{matrix} W = (1 / 2) Θ ω_{0}^{2} = (1 / 4) m R^{2} ω_{0}^{2} . \end{matrix}

A súrlódási erő átlagteljesítménye

\begin{matrix} P_{átl} = W / t = (1 / 3) μ m g R ω_{0} . \end{matrix}

A pillanatnyi teljesítményt a

\begin{matrix} P = M ω \end{matrix}

összefüggés segítségével számolhatjuk:

\begin{matrix} P = (2 / 3) μ m g R [ω_{0} - (4 / 3) μ g / R \cdot t] . \end{matrix}

Kovács Imre (Kaposvár, Ált. Gépipari Szakközépisk. III. o. t.)

II. megoldás. A súrlódási erők forgatónyomatékát másképpen is számolhatjuk. Osszuk föl a korongot koncentrikus gyűrűkre,

2. ábra

Ha a gyűrűk

Δ r_{i}

vastagsága elég kicsi, akkor egy kiszemelt gyűrűre ható forgatónyomaték számításakor figyelmen kívül hagyhatjuk azt a tényt, hogy a korong tengelyétől távolabb egyre nagyobb érintkező felületek vannak. Így az

i

-edik gyűrűre ható forgatónyomaték

\begin{matrix} M_{i} = - μ m_{i} g r_{i}, \end{matrix}

ahol

m_{i}

a gyűrű tömege. Egyenletes sűrűség esetén a tömegek aránya egyenlő a felületek arányával, azaz:

\begin{matrix} \frac{m_{i}}{m} = \frac{2 π (r_{i} + \frac{Δ r_{i}}{2}) Δ r_{i}}{π R^{2}} \end{matrix}

Δ r_{i} - t