Kezdőlap


Feladat:	1079. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bicsák István
Füzet:	1973/március, 133 - 134. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ellenállások kapcsolása, Kondenzátorok kapcsolása, Áram hőhatása (Joule-hő), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/október: 1079. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük először a párhuzamosan kapcsolt $R_{1}$ és $R_{2}$ ellenállás esetét! Tegyük fel, hogy az egyes ellenállásokon $I_{1}$ és $I_{2}$ áram folyik, és $I_{1} + I_{2} = I$ . Az ellenállásokon időegység alatt termelt hő

\begin{matrix} Q = k (P_{1} + P_{2}) = (I_{1}^{2} R_{1} + I_{2}^{2} R_{2}) = k [I_{1}^{2} R_{1} + {(I - I_{1})}^{2} R_{2}] . \end{matrix}

Adott

I

mellett a

Q

I_{1}

függvényében változik. Szélsőértéke ott lesz, ahol a

Q

I_{1}

szerinti deriváltja eltűnik, azaz

\begin{matrix} 2 k I_{1} R_{1} - 2 k (I - I_{1}) R_{2} & = 0, \\ I_{1} R_{1} & = I_{2} R_{2} . \end{matrix}

Ez megegyezik a kiszabott törvényekből kapható árameloszlással. A kapott szélsőértékhely minimum, mert a

Q

kifejezésében

I_{1}^{2}

együtthatója pozitív.
Hasonlóan okosodhatunk sorba kötött ellenállások esetében is. Legyenek az egyes feszültségek

U_{1}

, ill.

U_{2}

, és

U_{1} + U_{2} = U

. A termelt hőteljesítmény

\begin{matrix} Q = k (\frac{U_{1}^{2}}{R_{1}} + \frac{U_{2}^{2}}{R_{3}}) = k (\frac{U_{1}^{2}}{R_{1}} + \frac{{(U - U_{1})}^{2}}{R_{2}}) . \end{matrix}

Ennek a másodfokú függvénynek ott van minimuma, ahol

\begin{matrix} \frac{U_{1}}{R_{1}} = \frac{U - U_{1}}{R_{2}} = \frac{U_{2}}{R_{2}} . \end{matrix}

A kapott feltétel megint megegyezik a valóságossal.
Kondenzátoroknál egy kicsit más a helyzet. Ideális kondenzátorok ohmos ellenállása végtelen, ezért nem termelődik bennük hő. Vizsgáljuk ezért a bennük felhalmozott energiát! Párhuzamosan kötött kondenzátorok esetén legyen az egyes kapacitások töltése

Q_{1}

és

Q_{2}

, az összegük

Q

és a tárolt energia

W

\begin{matrix} W = \frac{1}{2} (\frac{Q_{1}^{2}}{C_{1}} + \frac{Q_{2}^{2}}{C_{2}}) = \frac{1}{2} (\frac{Q_{1}^{2}}{C_{1}} + \frac{{(Q - Q_{1})}^{2}}{C_{2}}) . \end{matrix}

W

minimális, ha

\begin{matrix} \frac{Q_{1}}{C_{1}} = \frac{Q_{2}}{C_{2}} . \end{matrix}

Ez megfelel a valóságban kialakuló töltéseloszlásnak.
Sorosan kötött kondenzátorok esetén

Q_{1} = Q_{2}

, tehát a feszültségekből kell kiindulnunk. Ezek legyenek

U_{1}

U_{2}

és

U_{1} + U_{2} = U

\begin{matrix} W = (1 / 2) (U_{1}^{2} C_{1} + U_{2}^{2} C_{2}) = (1 / 2) [U_{1}^{2} C_{1} + {(U - U_{1})}^{2} C_{2}] . \end{matrix}

W

akkor minimális, ha

\begin{matrix} U_{1} C_{1} = (U - U_{1}) C_{2} = U_{2} C_{2}, Q_{1} = Q_{2} . \end{matrix}

Tehát kondenzátorok esetében párhuzamos kapcsolásnál a töltés, soros kapcsolásnál a feszültség úgy oszlik meg, hogy a kondenzátorokban felhalmozott energia minimális.

Bicsák István (Zalaegerszeg, Ságvári E. Gimn., IV. o. t)

Megjegyzés.Sok megoldó számolt kondenzátorok esetén váltóárammal. A

C

kapacitású kondenzátor váltóáramú ellenállása

1 / ω C

, így formálisan alkalmazhatók az ellenállásoknál kapott kifejezések. Ezek a megoldók a hibát ott követték el, hogy az

U \cdot I

mennyiséget azonosították a rendszerben keletkezett hőteljesítménnyel. Váltóáram esetén a hatásos (wattos) teljesítmény

U I \cdot cos φ

, ez az a teljesítmény, ami hővé alakulhat. De ideális kondenzátorok esetén

φ = 90^{\circ}

, tehát

cos φ = 0

, így nincs hőfejlődés.