Kezdőlap


Feladat:	1077. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Vladár Károly
Füzet:	1973/március, 131 - 132. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felületi feszültségből származó erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/október: 1077. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A buborékok összetapadása után kialakuló körhöz három szappanhártya‐felület csatlakozik.

1. ábra

A körív egy kicsiny

Δ s

hosszúságú darabjára három erő hat, mindegyik

\begin{matrix} Δ F = Δ s \cdot α \end{matrix}

nagyságú, hiszen az

α

felületi feszültség definíció szerint a hosszegységenként ható erőt jelenti. Mivel mindhárom szappanhártya ugyanabból az anyagból van, a három erő azonos nagyságú. Egyensúly esetén ezek az erők

120^{\circ}

-os szöget kell, hogy bezárjanak egymással, vagyis az 1. ábrán látható

B C A ∢ = 60^{\circ}

. Írjuk fel a cosinus-, majd a sinus‐tételt az

A B C

háromszögre:

\begin{matrix} A B = \sqrt[]{R^{2} - 2 R r cos 60^{\circ} + r^{2}} = \sqrt[]{R^{2} - R r + r^{2}}, \\ \frac{sin α}{sin 60^{\circ}} = \frac{r}{A B} . \end{matrix}

Mivel a keresett sugár

ϱ = R \cdot sin α

alapján számítható, a fenti képletekből

\begin{matrix} ϱ = \frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot \frac{R r}{\sqrt[]{R^{2} - R r + r^{2}}} \end{matrix}

adódik.

2. ábra

Érdemes megvizsgálni néhány speciális esetet (2. ábra):

a) Ha

R = r

, akkor

ϱ = \frac{\sqrt[]{3}}{2} R

. Ilyenkor az elválasztó felület sík.

b) Ha

R = 2 r

, akkor

ϱ = r

. Ebben az esetben a kisebb buborék éppen félig olvad bele a nagyobbikba, és az elválasztó felület a nagyobbik buborékkal azonos görbületi sugarú, de ellentétes irányú.
c)

R ≫ r

, ilyenkor az elválasztó felület görbülete a kisebb gömb görbületével egyezik meg.

Vladár Károly (Kiskunhalas, Szilády Á. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Sok versenyző a szappanfelületek minimumtulajdonságát kihasználva akarta megoldani a feladatot. Adott

R

és

r

mellett meghatározták azt a

ϱ

értéket, amelyre a teljes felület minimális.
Egy rendszer stabil egyensúlyi helyzetében a potenciális energia minimális, de ez a feltétel csak akkor helyettesíthető a legkisebb felület megkeresésének problémájával, ha a felületi feszültségből adódó energia mellett minden más energia elhanyagolható. Ez szabad (nem zárt) felületekre valóban teljesül, de buborékokra már nem. Ezeknél a felületi energiához hozzá kell adnunk a bezárt gáz összenyomásából adódó energiát is. Ha erről elfeledkezünk, akkor pl. egyetlen buborék egyensúlyi méretére is

R = 0

adódna, hiszen ekkor legkisebb a felület.