Kezdőlap


Feladat:	1076. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ábrahám Tibor , Mihály László
Füzet:	1973/március, 130 - 131. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Forgási energia, Rögzített tengely körüli forgás (Merev testek mozgásegyenletei), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/október: 1076. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A csapágyerő meghatározását két lépésben végezzük el. Először kiszámítjuk a rúd szögsebességét a legalsó helyzetben való áthaladáskor, majd ennek ismeretében a csapágyerőt.

Használjuk az energiamegmaradás törvényét! A rúd helyzeti energiájának megváltozása a súlypont magasságának

h

változásával kifejezve :

\begin{matrix} E_{p} = m g \cdot h, \end{matrix}

m

a rúd tömege,

g

a nehézségi gyorsulás. Az

ω

szögsebességgel egyik vége körül forgó,

Θ

tehetetlenségi nyomatékú rúd mozgási energiája

\begin{matrix} E_{k} = (1 / 2) Θ ω^{2} . \end{matrix}

E_{p} = E_{k}

feltételből kapjuk a szögsebességet:

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{\frac{2 m g h}{Θ}} . \end{matrix}

Figyelembe véve, hogy egy

l

hosszúságú rúd végpontjára vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka

Θ = (1 / 3) m l^{2}

, és hogy a súlypont magasságának változása az a) esetben

l / 2

, a b) esetben

l

, azért

\begin{matrix} a) ω = \sqrt[]{3 g / l}, b) ω = \sqrt[]{6 g / l} . \end{matrix}

F

csapágyerő és a súlyerő eredője a centripetális erő, amely a rúd tömegközéppontját körpályán tartja. Ezért

\begin{matrix} F - m g = m \cdot (l / 2) \cdot ω^{2} . \end{matrix}

Tehát az egyes esetekben a következőt kapjuk:

\begin{matrix} a) F = (3 / 2) m g = 2, 5 m g, b) F = 3 m g + m g = 4 m g . \end{matrix}

A csapágy eltörése előtti pillanatban a rúd tömegközéppontjának

v = (l / 2) ω

sebessége volt. A szabaddá válás rövid ideje alatt a rúdra véges erők hatnak, így ezalatt mozgásállapota nem változik; másrészt az impulzusmomentum megmaradási törvénye miatt a rúd a továbbiakban az

ω

szögsebességű forgást megtartja. Ennek alapján mondhatjuk, hogy a rúd tömegközéppontja mindkét esetben

v

sebességgel induló vízszintes hajlításnak megfelelő pályán fog mozogni, miközben a rúd a tömegközéppont körül

ω

szögsebességgel egyenletesen forog.

Ábrahám Tibor (Eger, Gárdonyi G. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. A megoldók közül néhányan az eredményt az integrálszámítás eszközeivel számították ki. Az egyszerűbb módszerekkel megoldható problémáknál a bonyolultabb eljárás ‐ matematikai szépsége ellenére is ‐ kevésbé értékes.