Feladat: 1062. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bari Ferenc ,  Lukács Gábor 
Füzet: 1973/január, 41 - 42. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Görbületi nyomás, Ideális gáz állapotegyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/május: 1062. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Felhasználjuk, hogy d falvastagságú, E rugalmassági moduluszú gömb belsejében levő gáz nyomását Δp-vel növelve a gömb R0 sugara ΔR-rel nő, miközben a gömb falában rugalmas feszültség ébred. Az 1054. feladatban megmutattuk, hogy

Δp=2EdΔRR0(R0+ΔR).(1)

A feszítetlen állapotában R0 sugarú gömbbe p1 nyomású levegőt fújunk T1=273K hőmérsékleten és p0 külső nyomáson; ekkor Δp1=p1-p0 nyomáskülönbség hatására a gömb sugara R1-re nő:
Δp1=2Ed(R1-R0)R0R1=2EdR0-2EdR1.(2)

Ha a hőmérsékletet T2-re emeljük, akkor a bezárt levegő nyomása p2 lesz, a gumiban megnő a feszültség, és feszültségi állapota olyan lesz, mintha R*= =R0(1+αΔT) sugarú állapotából jutott volna p2 nyomású és T2 hőmérsékletű levegő befúvásával R1 sugarú állapotába. Az (1) összefüggést alkalmazva
p2-p0=2EdR1-R0(1+αΔT)R1R0(1+αΔT)=2EdR0(1+αΔT)-2EdR1.(3)
Mivel a levegő térfogata a kezdeti és végállapotban egyenlő, azért
p2=p1T2T1,ésp2-p1=p1ΔTT1.(4)
Kivonva (3)-ból (2)-t és felhasználva (4)-et
p2-p1=-2EdR0αΔT1+αΔT=p1ΔTT1.(5)
Továbbá (2)-ből
2EdR0=p1-p0+2EdR1,
amit (5)-be helyettesítve, rendezés után
p1=(p0-2EdR1)αT11+αT2.

A feladatnak csak R1 olyan értéke esetén van megoldása, ha p1p0; más esetben nem beszélhetünk levegőbefúvásról. Az 1/T2>-α józan feltevéssel élve a fenti egyenlőtlenségből
R12dEp0-αT11+α(T2-T1)=Rkrit.

Numerikusan (d=2mm; T1=273K; T2=333K; p0=1,03310-2kpmm-2; E=3,5kpmm-2; α=-810-5C-1 a kritikus sugár Rkrit=29,74mm. Legyen R1=28mm, ekkor
p1=1,098kpcm-2.

Bari Ferenc (Csongrád, Batsányi J. Gimn., III. o. t.)
és Lukács Gábor (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., III. o. t.)
dolgozata alapján