Feladat: 1060. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Lukács Gábor 
Füzet: 1973/január, 37 - 39. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Gömbtükör, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/május: 1060. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatot két lépésben oldjuk meg. Először meghatározzuk a tükör helyzetét és fókusztávolságát, majd ennek ismeretében a tetszőleges B pont képét. Megállapítjuk, hogy A és A' helyzetére milyen feltételek érvényesek. A szerkesztésnél felhasználjuk, hogy jó leképzés esetén minden A-ból kiinduló fénysugár átmegy A'-n.
Tudjuk, hogy az optikai középpontban visszaverődő sugár optikai tengellyel bezárt szöge nem változik. Legyen A' l-re vett tükörképe A'' (1. ábra).

 

 

1. ábra
 
 

Az előbbi kikötés csak akkor teljesíthető, ha az optikai középpont az AA'' egyenes és az optikai tengely metszéspontjában van. A szerkesztés nem végezhető el, ha A és A' az optikai tengely ellentétes oldalán van, és a tengelytől való távolságuk egyenlő. Ekkor a feltételeknek megfelelő homorú gömbtükör csak akkor létezik, ha A' az A pont l-re vonatkozó tükörképe. Ebben az esetben végtelen sok homorú gömbtükör felel meg a feltételeknek, A és A' a kétszeres fókusztávolságban van.
A kapott optikai középpontban a tengelyre bocsátott merőleges egyenes jelzi a tükröt. (A szerkesztés szempontjából a tükör azért helyettesíthető egyenessel, mert a jó leképzés feltétele, hogy a tükör átmérője sugarához képest kicsi legyen. Így a szerkesztésnél elkövetett hiba a leképzési hibák nagyságrendjébe esik.) A fókuszpontot megkaphatjuk, ha az A-ból kiinduló, tengellyel párhuzamos egyenesnek a tükörrel vett metszéspontját összekötjük A'-vel (2. ábra).
 

2. ábra
 
 

Az l-lel vett metszéspont a fókuszpont (F). A szerkesztést nem tudjuk elvégezni, ha A és A' az l-lel párhuzamos egyenesen van. Ebben az esetben azonban egyáltalán nincs a feltételeknek megfelelő homorú gömbtükör.
Amennyiben a kizáró okok egyike sem lép fel, megkapjuk a tükör és a fókuszpont helyét. Lehetséges azonban, hogy a fókuszpont a tükör mögött van (3. ábra); nekünk ezt az esetet is ki kell zárni, mert domború tükörnek felel meg.
 

 

3. ábra
 
 

A gyújtópont akkor kerülhet a tükör mögé, ha A és A' az optikai tengely egyazon oldalán van úgy, hogy A' közelebb van l-hez, mint A. Ezt vagy geometriai úton vagy pedig annak ismeretében bizonyíthatjuk be, hogy egyenes állású kicsinyített képet csak domború tükör (vagy homorú lencse) hozhat létre.
A másik érdekes eset, amikor A és A' ugyanazon az oldalon van, de A' van távolabb l-től (4. ábra).
 

 

4. ábra
 
 

Ekkor az A' pontban látszólagos kép keletkezik; a szerkesztés olyan homorú tükröt eredményez, melynek fókusztávolságán belül van A. A tükör helyének ismeretében a nevezetes sugarak felhasználásával megkaphatjuk B képét (5. ábra).
 

 

5. ábra
 
 

 

Lukács Gábor (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., III. o. t.)

 

Megjegyzés. A feladat megoldásához nem volt szükség a gömbtükör sugarára. Néhányan a szerkesztés során először a geometriai középpontot szerkesztették meg (az önmagában visszaverődő fénynyaláb segítségével), majd a sugár felénél felvették a fókuszpontot. Ez a módszer az ismertetettel egyenértékű, a két eljárás azonos eredményt ad.