A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladatot két lépésben oldjuk meg. Először meghatározzuk a tükör helyzetét és fókusztávolságát, majd ennek ismeretében a tetszőleges pont képét. Megállapítjuk, hogy és helyzetére milyen feltételek érvényesek. A szerkesztésnél felhasználjuk, hogy jó leképzés esetén minden -ból kiinduló fénysugár átmegy -n. Tudjuk, hogy az optikai középpontban visszaverődő sugár optikai tengellyel bezárt szöge nem változik. Legyen -re vett tükörképe (1. ábra).
1. ábra Az előbbi kikötés csak akkor teljesíthető, ha az optikai középpont az egyenes és az optikai tengely metszéspontjában van. A szerkesztés nem végezhető el, ha és az optikai tengely ellentétes oldalán van, és a tengelytől való távolságuk egyenlő. Ekkor a feltételeknek megfelelő homorú gömbtükör csak akkor létezik, ha az pont -re vonatkozó tükörképe. Ebben az esetben végtelen sok homorú gömbtükör felel meg a feltételeknek, és a kétszeres fókusztávolságban van. A kapott optikai középpontban a tengelyre bocsátott merőleges egyenes jelzi a tükröt. (A szerkesztés szempontjából a tükör azért helyettesíthető egyenessel, mert a jó leképzés feltétele, hogy a tükör átmérője sugarához képest kicsi legyen. Így a szerkesztésnél elkövetett hiba a leképzési hibák nagyságrendjébe esik.) A fókuszpontot megkaphatjuk, ha az -ból kiinduló, tengellyel párhuzamos egyenesnek a tükörrel vett metszéspontját összekötjük -vel (2. ábra).
2. ábra Az -lel vett metszéspont a fókuszpont (). A szerkesztést nem tudjuk elvégezni, ha és az -lel párhuzamos egyenesen van. Ebben az esetben azonban egyáltalán nincs a feltételeknek megfelelő homorú gömbtükör. Amennyiben a kizáró okok egyike sem lép fel, megkapjuk a tükör és a fókuszpont helyét. Lehetséges azonban, hogy a fókuszpont a tükör mögött van (3. ábra); nekünk ezt az esetet is ki kell zárni, mert domború tükörnek felel meg.
3. ábra A gyújtópont akkor kerülhet a tükör mögé, ha és az optikai tengely egyazon oldalán van úgy, hogy közelebb van -hez, mint . Ezt vagy geometriai úton vagy pedig annak ismeretében bizonyíthatjuk be, hogy egyenes állású kicsinyített képet csak domború tükör (vagy homorú lencse) hozhat létre. A másik érdekes eset, amikor és ugyanazon az oldalon van, de van távolabb -től (4. ábra).
4. ábra Ekkor az pontban látszólagos kép keletkezik; a szerkesztés olyan homorú tükröt eredményez, melynek fókusztávolságán belül van . A tükör helyének ismeretében a nevezetes sugarak felhasználásával megkaphatjuk képét (5. ábra).
5. ábra
Lukács Gábor (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., III. o. t.)
Megjegyzés. A feladat megoldásához nem volt szükség a gömbtükör sugarára. Néhányan a szerkesztés során először a geometriai középpontot szerkesztették meg (az önmagában visszaverődő fénynyaláb segítségével), majd a sugár felénél felvették a fókuszpontot. Ez a módszer az ismertetettel egyenértékű, a két eljárás azonos eredményt ad. |