Kezdőlap


Feladat:	1058. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Prőhle Péter
Füzet:	1973/január, 36 - 37. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Impulzusmegmaradás törvénye, Energia homogén gravitációs mezőben, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/május: 1058. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rendszer súlypontjának mozgását a külső erők határozzák meg. Mivel súrlódás nincs, a rendszerré ható külső erők (nehézségi erők, a síkra merőleges kényszererők) mind függőleges irányúak, s így a súlypont vízszinten irányban nem mozdul el.
A súlypont az a pont, amelyre nézve a nehézségi erők forgatónyomatéka nulla. Ha vizszintes koordinátáját $x_{s}$ -sel jelöljük,

\begin{matrix} m_{1} (x_{1} - x_{s}) + m_{2} (x_{2} - x_{s}) + m_{3} (x_{3} - x_{s}) = 0, \end{matrix}

illetve rendezés után:

\begin{matrix} m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + m_{3} x_{3} = (m_{1} + m_{2} + m_{3}) x_{s} . \end{matrix}

Mivel

x_{s}

, és így az egyenlet jobb oldala a mozgás során állandó, a bal oldal kezdeti, illetve végső koordinátákkal számolt értékei egyenlők.

Kezdetben (l. az ábrát):

\begin{matrix} x_{10} = 0, x_{20} = c, x_{30} = a cos α = \frac{a^{2} - b^{2} + c^{2}}{2 a c} \cdot a \end{matrix}

(

cos α

a cosinus-tétel segítségével kapható meg).
Becsapódáskor:

\begin{matrix} x_{1} = x_{3} - a, x_{2} = x_{3} + b . \end{matrix}

Felírjuk az egyenlőséget

\begin{matrix} m_{1} (x_{3} - a) + m_{2} (x_{3} + b) + m_{3} x_{3} = \\ = m_{2} c + m_{3} \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 c} . \end{matrix}

Ebből

x_{3}

meghatározható. Az

m_{3}

tömegű test vízszintes elmozdulása:

\begin{matrix} Δ x_{3} = x_{3} - x_{30} = \frac{m_{1} [b^{2} - {(a - c)}^{2}] + m_{2} [{(c - b)}^{2} - a^{2}]}{2 c (m_{1} + m_{2} + m_{3})} . \end{matrix}

Számadatainkkal:

\begin{matrix} x_{3} = 0, 2 dm, \end{matrix}

azaz az

m_{3}

tömegű test

0, 2 dm

-t mozdul el vízszintes irányban, az

m_{2}

tömegű test felé.
Minthogy a külső erők függőlegesek, a rendszer vízszintes irányú összimpulzusa állandó. Kezdetben nulla volt, így a mozgás során

\begin{matrix} m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} + m_{3} v_{3} = 0. \end{matrix}

m_{3}

tömegű test becsapódásakor a három test vízszintes irányú sebessége egyenlő kell hogy legyen, mivel az összekötő merev rudak ekkor vízszintesek. Az összes vízszintes irányú impulzus

\begin{matrix} (m_{1} + m_{2} + m_{3}) v = 0, \end{matrix}

s így becsapódáskor egyik testnek sincs vízszintes irányú sebessége. Az energia-tétel igen egyszerű alakot ölt. Kezdetben csak az

m_{3}

tömegű testnek volt helyzeti energiája, a végén pedig csak annak van mozgási energiája, így

\begin{matrix} (1 / 2) m_{3} v^{2} = m_{3} g h, ahonnan v = \sqrt[]{2 g h} . \end{matrix}

h

kezdeti magasságot Heron-képletével határozhatjuk meg.

\begin{matrix} h = \frac{2 T}{c} = \frac{2}{c} \sqrt[]{s (s - a) (s - b) (s - c)}, \end{matrix}

ahol

s = (1 / 2) (a + b + c)

.

Számadatainkkal:

\begin{matrix} v = 2, 18 m/s . \end{matrix}

Prőhle Péter (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.) megoldása

alapján