Kezdőlap


Feladat:	1056. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balog János , Balog Péter , Bari Ferenc , Gál Tibor , Gergely István , Hadik György , Pach János , Técsy Zoltán
Füzet:	1972/december, 237 - 238. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kondenzátorok párhuzamos kapcsolása, Elektromos mező energiája, energiasűrűsége, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/április: 1056. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két kondenzátor párhuzamos kapcsolása után $U$ feszültség alakul ki úgy, hogy az egyik kondenzátorról a másikra $Δ Q$ töltés áramlik át. Egyensúly csak energiaveszteség révén jöhet létre, különben a töltések csillapítatlan rezgőmozgást végeznének. Az energia hő, ill. elektromágneses sugárzás formájában távozik a rendszerből.
A töltésmegmaradás elvét alkalmazva igazak a következő egyenletek :

\begin{matrix} Q_{1} - Δ Q = C_{1} U, Q_{2} + Δ Q = C_{2} U, \end{matrix}

(1)

ahol

Q_{1} = C_{1} U_{1}

Q_{2} = C_{2} U_{2}

a kondenzátorokon a kiindulási állapotban levő töltések.
Az egyenletek megoldása :

\begin{matrix} U = \frac{C_{1} U_{1} + C_{2} U_{2}}{C_{1} + C_{2}}, Δ Q = \frac{C_{2} Q_{1} - C_{1} Q_{2}}{C_{1} + C_{2}} . \end{matrix}

(2)

Természetesen igaz az energiamegmaradás is, csak figyelembe kell venni a

Δ Q

töltés átáramlásakor felszabaduló

W

energiát. Így az energiamegmaradás helyes megfogalmazása :

\begin{matrix} E_{1} + E_{2} = E + W . \end{matrix}

(3)

Egy olyan pillanatban, amikor már

Δ Q

töltés átáramlott és a kondenzátorok pillanatnyi feszültsége

\begin{matrix} U_{1}^{*} = U_{1} - \frac{Q}{C_{1}}, U_{2}^{*} = U_{2} + \frac{Q}{C_{2}}, \end{matrix}

(4)

d Q

elemi töltés átvitelekor felszabaduló energia :

\begin{matrix} d W = (U_{1}^{*} - U_{2}^{*}) d Q = [U_{1} - U_{2} - Q (\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}})] d Q, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} W = \int_{0}^{Δ Q} [U_{1} - U_{2} - Q (\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}})] d Q = Δ Q (U_{1} - U_{2}) - \frac{{(Δ Q)}^{2}}{2} (\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}}) . \end{matrix}

Δ Q

értékét beírva és felhasználva a

Q_{1} = C_{1} U_{1}

és

Q_{2} = C_{2} U_{2}

összefüggéseket kapjuk, hogy

\begin{matrix} W = \frac{1}{2} \frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}} {(U_{1} - U_{2})}^{2}, \end{matrix}

(5)

majd (3)-ba visszahelyettesítve :

\begin{matrix} \frac{1}{2} C_{1} U_{1}^{2} + \frac{1}{2} C_{2} U_{2}^{2} = \frac{1}{2} (C_{1} + C_{2}) U^{2} + \frac{1}{2} \frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}} {(U_{1} - U_{2})}^{2}, U = \frac{C_{1} U_{1} + C_{2} U_{2}}{C_{1} + C_{2}}, \end{matrix}

(6)

ami ismét a helyes eredmény.
Könnyen belátható, hogy a kitűzésben szereplő

U'

és a helyes

U

érték között fennáll az

U \leq U'

egyenlőtlenség, ami szintén az energiaveszteségre utal.

U = U'

akkor és csak akkor, ha

U_{1} = U_{2}

, vagyis ha az egyensúly eleve adott, azaz töltésáramlás nem jön létre.

Bari Ferenc (Csongrád, Batsányi. J. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. A fenti megoldás fordított polaritású kapcsolásnál is igaz. A kitűzésben szereplő megoldás helytelensége azonnal belátható, ha a

C_{1} = C_{2}

U_{1} = U_{0}

U_{2} = - U_{0}

adatokra alkalmazzuk. A hibás megoldásból ekkor

U = U_{0}

közös feszültség adódik, holott nyilvánvalóan mindkét kondenzátor kisül és

U = 0

Hadik György (Makó, József A. Gimn., IV. o. t.)