Kezdőlap


Feladat:	1054. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balog János , Bari Ferenc
Füzet:	1972/december, 233 - 235. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Görbületi nyomás, Ideális gáz állapotegyenlete, I. főtétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/április: 1054. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az $R_{0}$ sugarú léggömböt bevisszük a csarnokba, akkor sugara $R$ -re változik ; a gáz nyomása $p_{0}$ -ról $p$ -re nő. A gumi egy $d \cdot Δ A = d {(R Δ φ)}^{2}$ térfogatelemének (1‐2, ábra) egyensúlyából : $p = p_{0} + Δ p$ , ahol $Δ p$ a gumiban ébredt $σ = E ε = E \frac{R - R_{0}}{R_{0}}$ feszültségből származó nyomás.

1. ábra

2. ábra

A térfogatelem

d R Δ φ

oldallapjára

σ d R Δ φ

erő hat, amelynek radiális irányú komponense (2. ábra)

σ d R Δ φ \cdot sin \frac{Δ φ}{2} \approx σ d R Δ φ \cdot \frac{Δ φ}{2}

; mivel a térfogatelem minden oldalára ilyen erő hat, ezért

\begin{matrix} Δ p = \frac{4 σ d R {(Δ φ)}^{2} \cdot (1 / 2)}{{(R Δ φ)}^{2}} = \frac{2 E d}{R_{0}} \cdot \frac{R - R_{0}}{R} . \end{matrix}

Ha a hőmérséklet

T_{0}

-ról

T_{1}

-re nő, akkor a hidrogénre felírva az egyesített gáztörvényt

\begin{matrix} \frac{p_{0} 4 R_{0}^{3} π}{3 T_{0}} = \frac{(p_{0} + Δ p) 4 R^{3} π}{3 T_{1}} \end{matrix}

adódik, ahová a

Δ p

-re kapott kifejezést behelyettesítve az alábbi egyenletet kapjuk

R

-re :

\begin{matrix} 0 = (p_{0} + \frac{2 E d}{R_{0}}) R^{3} - 2 E d R^{2} - p_{0} R_{0}^{3} \frac{T_{1}}{T_{0}} . \end{matrix}

Ennek az egyenletnek a feladat szempontjából szóba jöhető gyöke számadataink esetén (

R_{0} = 100 cm

p_{0} = 1, 033 {kpcm}^{- 2}

T_{0} = 263^{\circ} K

T_{1} = 304^{\circ} K

d = 10^{- 2} cm

E = 225 {kpcm}^{- 2}

\begin{matrix} R = 104, 9 cm . \end{matrix}

Normál nyomáson

(p_{n})

és hőmérsékleten

(T_{n})

a levegő sűrűsége

ϱ_{n}

;

p_{n}

nyomáson és

T

hőmérsékleten

ϱ = ϱ_{n} T_{n} / T

T_{0}

hőmérsékleten a léggömb

G

súlya, a

K

kötélerő és a

ϱ_{0} (4 / 3) R_{0}^{3} π g

felhajtóerő egyensúlyt tart :

\begin{matrix} G = ϱ_{0} \frac{4}{3} R_{0}^{3} π g - K = ϱ_{n} \frac{T_{n}}{T_{0}} \frac{4}{3} R_{0}^{3} π g - K . \end{matrix}

A ballon bevitele után közvetlenül a rá ható felhajtóerő

\begin{matrix} F_{1} = ϱ_{n} \frac{T_{n}}{T_{1}} \frac{4}{3} R^{3} π g, \end{matrix}

a termodinamikai egyensúly beállta után

\begin{matrix} F_{2} = ϱ_{n} \frac{T_{n}}{T_{1}} \frac{4}{3} R^{3} π g . \end{matrix}

Esetünkben

G = 5, 122 kp

F_{1} = 4, 864 kp

F_{2} = 5, 615 kp

, azaz

F_{1} < G

és

F_{2} > G

, tehát a léggömb először süllyedni kezd, majd utána emelkedik.
Ha

K

függőlegesen felfelé mutat (a

T_{0}

hőmérsékletű környezetben a léggömb felülről van rögzítve), akkor

G = ϱ_{n} \frac{T_{n}}{T_{0}} \frac{4}{3} R_{0}^{3} π g + K

, azaz

G = 6, 122

kp, s így

F_{1} > G

F_{2} < G

miatt a léggömb süllyedni fog a csarnokban elengedés után.
A folyamat során a hidrogén nyomása a léggömb

r

sugarának függvényében :

\begin{matrix} p = p_{0} + \frac{2 E d}{R_{0}} \cdot \frac{r - R_{0}}{r} . \end{matrix}

A termodinamika 1. főtétele alapján a gáz által felvett hőmennyiség :

\begin{matrix} Q = Δ U + \int_{V_{n}}^{V_{1}} p d V = m c_{v} (T_{1} - T_{0}) + \int_{R_{0}}^{R} [p_{0} + \frac{2 E D}{R_{0}} (1 - \frac{R_{0}}{r})] 4 r^{2} π d r = \\ = p_{0} V_{0} \frac{M c_{v}}{R^{*}} \cdot \frac{T_{1} - T_{0}}{T_{0}} + 4 π (p_{0} + \frac{2 E d}{R_{0}}) \frac{R^{3} - R_{0}^{3}}{3} - E D 4 π (R^{2} - R_{0}^{2}) = \\ = \frac{5}{2} p_{0} \frac{4 R_{0}^{3} π}{3} \cdot \frac{T_{1} - T_{0}}{T_{0}} + 4 π (p_{0} + \frac{2 E d}{R_{0}}) \frac{R^{3} - R_{0}^{3}}{3} - E d 4 π (R^{2} - R_{0}^{2}) . \end{matrix}

Felhasználtuk, hogy

p_{0} V_{0} = \frac{m}{M} R^{*} T_{0}

, ahol

m

a hidrogén tömege,

M

a mólnyi tömege,

R^{*}

az egyetemes gázállandó. Mivel a hidrogén kétatomos gáz, azért

\frac{M c_{v}}{R^{*}} \approx \frac{5}{2}

(c_{v}

H_{2}

fajhője állandó térfogaton).
Számszerűen

\begin{matrix} Q = 55, 14 kcal . \end{matrix}

Megjegyzés. Több megoldó a tényleges tágulási folyamat helyett valamilyen más (pl. egy izochor és egy izobár részfolyamatból állt) folyamatot tekintett és abban számolta ki a gáz által felvett hőt. Így nem adódott helyes eredmény, mert a hőmennyiség nem állapotfüggvény, függ attól, hogy a rendszer milyen folyamat révén jutott egyik állapotból a másikba. Elég jó közelítés viszont, ha a folyamatot a nyomás

p_{0}

-hoz képest kicsiny megváltozása miatt izobárnak tekintjük

(Q = c_{p} m Δ T)