Kezdőlap


Feladat:	1050. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bányai Lajos
Füzet:	1972/december, 228 - 230. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tömegközéppont mozgása, Pontrendszer mozgási energiája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/április: 1050. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $m_{1}$ tömegű test a $t$ időpillanatban az origótól $x_{1} (t)$ , az $m_{2}$ tömegű pedig $x_{2} (t)$ távolságra. A tömegközéppont koordinátáját jelöljük $x_{TK}$ -val. Mivel a tömegközéppont a két test közötti távolságot a tömegekkel fordított arányban osztja,

\begin{matrix} \frac{x_{1} (t) - x_{TK}}{x_{TK} - x_{2} (t)} = \frac{m_{2}}{m_{1}} . \end{matrix}

(1)

Ebből

x_{TK}

-t kifejezzük:

\begin{matrix} x_{TK} = \frac{m_{1} x_{1} (t) + m_{2} x_{2} (t)}{m_{1} + m_{2}} . \end{matrix}

(2)

A tömegközéppont sebessége:

\begin{matrix} v_{TK} = \frac{Δ x_{TK}}{Δ t} = \frac{m_{1} \frac{Δ x_{1} (t)}{Δ t} + m_{2} \frac{Δ x_{2} (t)}{Δ t}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}} . \end{matrix}

(3)

A tömegközépponti rendszerben az egyes testek sebessége

u_{1} = v_{1} - v_{TK}

, ill.

u_{2} = v_{2} - v_{TK}

, így az impulzusok összege ebben a rendszerben:

\begin{matrix} I = m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} - (m_{1} + m_{2}) v_{TK} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} - (m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}) = 0. \end{matrix}

(4)

Tehát a tömegközépponti rendszerben az impulzusok összege nulla. A teljes kinetikai energia:

\begin{matrix} W_{kin} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} . \end{matrix}

Helyettesítsünk ebbe a kifejezésbe

v_{1}

helyébe

(u_{1} + v_{TK})

-t,

v_{2}

helyébe pedig

(u_{2} + v_{TK})

-t.

\begin{matrix} W_{kin} = \frac{1}{2} m_{1} {(u_{1} + v_{TK})}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {(u_{2} + v_{TK})}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + m_{1} u_{1} v_{TK} + \frac{1}{2} m_{1} v_{TK}^{2} + \\ + \frac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} + m_{2} u_{2} v_{TK} + \frac{1}{2} m_{2} v_{TK}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} + (m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}) v_{TK} + \\ + \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) v_{TK}^{2} = W_{kin}^{(TK)} + \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) v_{TK}^{2} + I \cdot v_{TK} . \end{matrix}

(4) szerint

I = 0

, így

\begin{matrix} W_{kin} = W_{kin}^{(TK)} + \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) v_{TK}^{2} . \end{matrix}

(5)

Bányai Lajos (Eger, Gárdonyi G. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. Több test esetében a tömegközéppont sebessége (3)-hoz hasonlóan

\begin{matrix} U_{x TK} = \frac{\sum m_{i} v_{x i}}{\sum m_{i}} . \end{matrix}

Továbbra is igaz marad, hogy a tömegközépponti rendszerben az impulzusok összege 0:

\begin{matrix} I = \sum m_{i} u_{i} = \sum m_{i} (v_{i} - v_{x TK}) = \sum m_{i} v_{i} - (\sum m_{i}) v_{x TK} = 0. \end{matrix}

(5) levezetéséhez hasonló módon megkapható az is, hogy

\begin{matrix} W_{kin} = W_{kin}^{(TK)} + \frac{1}{2} (\sum m_{i}) v_{x TK}^{2}, \end{matrix}

ahol most

W_{kin} = \sum \frac{1}{2} m_{i} v_{xi}^{2}

Eredményeinket általánosíthatjuk arra az esetre is, amikor a tömegpontok nem egyenes mentén mozognak. Ilyenkor a tömegközéppont

x

koordinátája

x_{TK}

y

koordinátája

y_{TK} = \frac{\sum m_{i} y_{i}}{\sum m_{i}}

z

koordinátája pedig

z_{TK} = \frac{\sum m_{i} z_{i}}{\sum m_{i}}

. Az

y

, illetve

z

irányú sebességre

v_{x TK}

-val analóg kifejezéseket kapunk. Háromdimenziós mozgás esetén egy test kinetikus energiája

\frac{1}{2} m