Kezdőlap


Feladat:	1041. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Márkus László , Nagy Pál
Füzet:	1972/november, 177. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb tehetetlenségi nyomaték, Határozott integrál, Függvény határértéke, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/február: 1041. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A labdát olyan gömbhéjnak tekintjük, amelynek vastagsága elhanyagolható és felületegységenkénti tömege $μ$ (1. ábra).

1. ábra

Δ r

-hez tartozó gömböv felszíne

\begin{matrix} Δ A = 2 π R Δ r, \end{matrix}

tömege

\begin{matrix} Δ m = 2 π R Δ r μ, \end{matrix}

r

-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka kis

Δ r

mellett

\begin{matrix} Δ Θ \approx Δ m l^{2} = 2 π R Δ r μ (R^{2} - r^{2}) . \end{matrix}

Tehát a labda teljes tehetetlenségi nyomatéka

\begin{matrix} Θ = \int_{- R}^{R} 2 π R μ (R^{2} - r^{2}) d r = 4 π R μ \int_{0}^{R} (R^{2} - r^{2}) d r = \frac{8}{3} π R^{4} μ . \end{matrix}

Figyelembe véve, hogy a gömbhéj tömege

m = 4 R^{2} π μ

\begin{matrix} Θ = \frac{2}{3} m R^{2} . \end{matrix}

Nagy Pál (Debrecen, Fazekas M. Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. Legyen a labda sűrűsége

ϱ

, belső, ill. külső sugara

r

, ill.

R

2. ábra

A labda tehetetlenségi nyomatéka egy

R

és egy

r

sugarú,

ϱ

sűrűségű tömör gömb tehetetlenségi nyomatékának különbsége. Felhasználva, hogy a tömör gömb tehetetlenségi nyomatéka

(2 / 5) m r^{2}

\begin{matrix} Θ = Θ_{R} - Θ_{r} = (2 / 5) m_{R} R^{2} - (2 / 5) m_{r} r^{2} = \\ = (2 / 5) \cdot (4 / 3) R^{3} π ϱ R^{2} - (2 / 5) \cdot (4 / 3) r^{3} π ϱ r^{2} = \\ = (2 / 5) \cdot (4 / 3) π ϱ (R^{5} - r^{5}) . \end{matrix}

Fejezzük ki a sűrűséget a labda tömegével:

\begin{matrix} ϱ = \frac{m}{(4 / 3) π (R^{3} - r^{3})}, így Θ = (2 / 5) m \frac{R^{5} - r^{5}}{R^{3} - r^{3}} . \end{matrix}

Egy elhanyagolható vastagságú gömbhéj tehetetlenségi nyomatéka

r \to R

határátmenettel adódik:

\begin{matrix} Θ = {lim}_{r \to R}^{} \frac{2}{5} m \frac{R^{5} - r^{5}}{R^{3} - r^{3}} = {lim}_{r \to R}^{} \frac{2}{5} m \frac{(R - r) (R^{4} + R^{3} r + R^{2} r^{2} + R r^{3} + r^{4})}{(R - r) (R^{2} + R r + r^{2})}, Θ = \frac{2}{3} m R^{2} . \end{matrix}

Márkus László (Sopron, Széchenyi I. Ginm., IV. o. t.)

Megjegyzés. A tehetetlenségi nyomaték kiszámítására vonatkozólag l. még Bodó Zalán cikkét a K.M.L. XXII. kötet 2. számában.