Kezdőlap


Feladat:	1037. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csatár János , Ditrói Gyula
Füzet:	1972/november, 173 - 175. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rögzített tengely körüli forgás (Merev testek mozgásegyenletei), Izotermikus állapotváltozás (Boyle--Mariotte-törvény), Centrifugális erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/február: 1037. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ahhoz, hogy a levegőoszlop $0, 4$ m lehessen, a higany felének ki kell folynia. A csőben maradt higany $ω$ szögsebességgel körpályán mozog. Az ehhez szükséges $A h ϱ ω^{2} (l + \frac{h}{2})$ centripetális erőt ( $h$ a higany hossza, $ϱ$ a sűrűsége, $l$ a levegőoszlop hossza, $l + h / 2$ a higany súlypontjának pályasugara, $A$ a cső keresztmetszete) a külső $p_{0}$ és a belső $p_{0} \frac{l_{0}}{l}$ ( $l_{0}$ a levegőoszlop eredeti hossza) nyomásokból származó erők eredője adja:

\begin{matrix} A \cdot p_{0} (1 - \frac{l_{0}}{l}) = A h ϱ ω^{2} (l + \frac{h}{2}), \end{matrix}

innen

\begin{matrix} p_{0} (1 - \frac{l_{0}}{l}) = h ϱ ω^{2} (l + \frac{h}{2}), & (1) \\ ω = \sqrt[]{\frac{p_{0} (1 - \frac{l_{0}}{l})}{h ϱ (l + \frac{h}{2})}} . \end{matrix}

Adatainkat behelyettesítve

ω = 9, 04 s^{- 1}

adódik. Vizsgáljuk meg a kapott egyensúlyi helyzet stabilitását. Tegyük fel, hogy a higany valami miatt elmozdul befelé! Ekkor a bezárt levegő nyomása az egyensúlyihoz képest nő, ugyanakkor a higany pályán tartásához szükséges centripetális erő csökken, tehát a belső nyomás növekedéséből adódó ,,erőfölösleg'' kifelé, azaz az egyensúlyi helyzet felé mozdítja a higanyt. Most tegyük fel, hogy a higany az egyensúlyból kifelé mozdul el, és tegyük fel, hogy ez az elmozdulás olyan kicsi, hogy nem cseppen ki higany (pl. a felületi feszültség megakadályozza)! Ebben az esetben a belső nyomás csökken, a külső és a belső nyomás különbsége nő. Az ebből adódó befelé mutató erőnövekedés

\begin{matrix} Δ F = A p_{0} \cdot (\frac{l_{0}}{l} - \frac{l_{0}}{l + Δ l}), \end{matrix}

ahol

Δ l

az elmozdulás. Ugyanakkor a higany súlypontja

Δ l

-lel nagyobb sugarú pályára kerül, tehát a szükséges centripetális erő növekedése

F_{cp} = h ϱ ω^{2} Δ l A

. Ahhoz, hogy a higany visszajusson az egyensúlyi helyzetbe

\begin{matrix} Δ F > Δ F_{cp}, azaz & (2) \\ p_{0} \frac{l_{0} Δ l}{l (l + Δ l)} > h ϱ ω^{2} Δ l szükséges . \end{matrix}

Egyszerűsítsünk

Δ l

-lel és szorozzuk mindkét oldalt

l + Δ l

-lel, így kapjuk:

\begin{matrix} p_{0} \frac{l_{0}}{l} > h ϱ ω^{2} (l + Δ l) . \end{matrix}

(3)

Használjuk ki, hogy

\frac{l_{0}}{l} = 0, 5

, azaz

p_{0} \frac{l_{0}}{l} = p_{0} (1 - \frac{l_{0}}{l})

. Így (3) bal oldalába (1) jobb oldalát írhatjuk, tehát az alábbi feltételt nyerjük:

\begin{matrix} h ϱ ω^{2} (l + \frac{h}{2}) > h ϱ ω^{2} (l + Δ l) . \end{matrix}

Ez viszont teljesül, mert feltételezésünk szerint

Δ l

elég kicsi. Az egyensúly tehát stabil. Ha az elmozdulás akkora, hogy higany kicsöppen, a stabilitás (2) feltétele nyilvánvalóan teljesül: ekkor ugyanis

Δ F_{cp}

negatív, mert

h - Δ l

hosszúságú higanyszál ugyanolyan pályán mozog, mint az elmozdulás előtt, de nem kell ,,gondoskodni'' a hiányzó

Δ l

hosszúságú darab pályán tartásáról.

Csatár János (Nagykanizsa, Lander J. Gimn., III. o. t.)

Ditrói Gyula (Győr, Révai M. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. A számításoknál nem vettük figyelembe a Bernoulli‐törvény hatását: a cső szája előtt a levegő áramlik, tehát ott a nyomás nem

p_{0}

, hanem annál

ϱ_{levegő} \cdot (v^{2} / 2) = ϱ_{l} \frac{L^{2} ω^{2}}{2}

-vel kevesebb. A felírt (1) egyenletben szereplő tagok nagyságrendje

ϱ_{higany} h ω^{2} (l + \frac{h}{2})

L

h

és

l

azonos nagyságrendbe esnek, tehát a külső nyomás csökkenésének és az egyenletben szereplő tagok nagyságrendjének a viszonya

ϱ_{l} / ϱ_{h} \approx 10^{- 4}

, így jogosan hanyagoltuk el ezt a hatást.