Kezdőlap


Feladat:	1035. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ábrahám Tibor
Füzet:	1972/szeptember, 43 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Párhuzamos erők eredője, Erők forgatónyomatéka, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/február: 1035. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $μ, m, M$ rendre a bábu, a fonál és a nehezék, valamint a deszka tömegét. Írjuk fel a deszkára ható függőleges irányú erőket akkor, amikor a pontszerűnek tekintett bábu már $x$ távolságra van eredeti helyétől (lásd az ábrát!).

Az egyensúly feltételéből két egyenlet írható fel:
a deszkára ható erők függőleges összetevői kiegyenlítik egymást:

\begin{matrix} N = μ g + 2 m g + M g; \end{matrix}

(1)

úgyszintén a deszka asztal felőli végpontjára felírt forgatónyomatékaik:

\begin{matrix} N d = μ g x + M g \frac{l}{2} + \frac{m g}{l} \end{matrix}

\begin{matrix} (l - x) \cdot \frac{l + x}{2} + \frac{m g}{l} (l + x) \cdot l . \end{matrix}

(2)

Ebből a két egyenletből

x

-re nézve másodfokú egyenletet nyerünk:

\begin{matrix} \frac{m}{2 l} x^{2} - (m + μ) x - M (\frac{l}{2} - d) - m (\frac{3 l}{2} - 2 d) + μ d = 0. \end{matrix}

Osszuk végig

m

-mel az egyenletet, és vezessük be egyszerűsítés céljából az

α = \frac{μ}{m}, β = \frac{M}{m} és γ = \frac{d}{l}

dimenzió nélküli mennyiségeket, így kapjuk:

\begin{matrix} \frac{1}{2 l} x^{2} - (1 + α) x - β (\frac{1}{2} - γ) \cdot l - (\frac{3}{2} - 2 γ) \cdot l + α γ \cdot l = 0. \end{matrix}

A megoldást nyilván az

l

-nél kisebb gyök szolgáltatja:

\begin{matrix} x = l \cdot {1 + α - \sqrt[]{{(1 + α)}^{2} - 2 γ (2 + α + β) + 3 + β}} . \end{matrix}

(3)

Annak a feltétele, hogy a deszka ne billenjen azonnal le, még mielőtt a bábu elindulna:

x \geq 0

, azaz (3)-ból

\begin{matrix} γ \geq \frac{3 + β}{2 (2 + α + β)} (\equiv γ_{0}) . \end{matrix}

(4)

A bábu csak akkor mehet végig a deszkán, ha

x \geq l

, azaz (3)-ból

\begin{matrix} γ \geq \frac{4 + 2 x + β}{2 (2 + α + β} (\equiv γ^{*} = γ_{0} + \frac{1 + 2 α}{2 (2 + α + β)}) . \end{matrix}

(5)

Numerikusan:

M = 55 g, μ = 10 g, m = 1 g, l = 30 cm, d = 16 cm

.
A bevezetett paraméterek:

α = 10, β = 55, γ = 8 / 15, γ_{0} = 29 / 67, γ^{*} = 79 / 134

. Mivel

γ_{0} < γ < γ^{*}

, ezért a bábu elmehet egy darabig a deszkán. Erre a távolságra (3)-ból

x = 18, 9 cm

érték adódik. Folytonos mozgást feltételezve,

\begin{matrix} t = \frac{18, 9 cm}{0,5 cm} \cdot \frac{3}{4} s = 28, 35 s \end{matrix}

ideig tartózkodhat a bábu a deszkán. Ezalatt 37 lépést tesz meg. Az ezt követő lépésnél lebillen a palló.

Ábrahám Tibor (Eger, Gárdonyi G. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján