Feladat:	1032. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balog János
Füzet:	1972/október, 88 - 91. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Coulomb-törvény, Gömbkondenzátor, Elektromos mező energiája, energiasűrűsége, Permittivitás (dielektromos állandó), Kondenzátorok soros kapcsolása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/január: 1032. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Számoljunk MKSA-rendszerben. a) Legyen a középponttól $r$ távolságban az eltolásvektor nagysága $D\left(r\right)$. Gauss törvényéből $\begin{array}{c}{\displaystyle D\left(r\right)=Q/\left(4r^2\pi \right)=\epsilon {\epsilon }_{0}E\left(r\right)\mathrm{,}}\end{array}$ (1) ahol ${\epsilon }_0$ a vákuum dielektromos állandója, $E\left(r\right)$ az elektromos térerősség, $\epsilon$ a közeg relatív dielektromos állandója. (1)-ből $\begin{array}{c}{\displaystyle E\left(r\right)=\{{\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccccc}{\displaystyle 0}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle \text{ ha }}\hfill & {\displaystyle 0\le r<0\mathrm{,}1\text{ m}\mathrm{,}}\hfill \\ {\displaystyle Q/\left(4r^2\pi {\epsilon }_1{\epsilon }_0\right)}\hfill & \hfill {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle -90/r^2\left(\text{V/m}\right)\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ ha }}\hfill & {\displaystyle 0\mathrm{,}1\text{ m}\le r<0\mathrm{,}2\text{ m}\mathrm{,}}\hfill \\ {\displaystyle Q/\left(4r^2\pi {\epsilon }_2{\epsilon }_0\right)}\hfill & \hfill {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle -150/r^2\left(\text{V/m}\right)\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ ha }}\hfill & {\displaystyle 0\mathrm{,}2\text{ m}\le r<0\mathrm{,}3\text{ m}\mathrm{,}}\hfill \\ {\displaystyle Q/\left(4r^2\pi {\epsilon }_0\right)}\hfill & \hfill {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle -450/r^2\left(\text{V/m}\right)\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ ha }}\hfill & {\displaystyle 0\mathrm{,}3\text{ m}\le r<0\mathrm{,}4\text{ m}\mathrm{,}}\hfill \\ {\displaystyle 0}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle \text{ ha }}\hfill & {\displaystyle 0\mathrm{,}4\text{ m}\le r\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}}}\end{array}$ Kihasználtuk, hogy a földelt gömbfelületen $-Q$ (vagyis pozitív!) töltés jelenik meg; ezért lett $D\left(r\right)=\mathrm{0,}$ ha $r>r_4$. Definíció szerint a potenciálfüggvény: $\begin{array}{c}{\displaystyle U\left(r\right)=-\underset{r_4}{\overset{r}{\int }}E\left(r\right)\text{d}r=\{{\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}{\displaystyle 0}\hfill & {\displaystyle \text{ ha }}\hfill & {\displaystyle r_4\le r\mathrm{,}}\hfill \\ {\displaystyle \frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_4}\right)\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ ha }}\hfill & {\displaystyle r_3\le r<r_4\mathrm{,}}\hfill \\ {\displaystyle \frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\left[\frac{1}{r_3}-\frac{1}{r_4}-\frac{1}{{\epsilon }_2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_3}\right)\right]\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ ha }}\hfill & {\displaystyle r_2\le r<r_3\mathrm{,}}\hfill \\ {\displaystyle \frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\left[\frac{1}{r_3}-\frac{1}{r_4}+\frac{1}{{\epsilon }_2}\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_3}\right)+\frac{1}{\epsilon }\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_2}\right)\right]\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ ha }}\hfill & {\displaystyle r_1\le r<r_2\mathrm{,}}\hfill \\ {\displaystyle \frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\left[\frac{1}{r_3}-\frac{1}{r_4}+\frac{1}{{\epsilon }_2}\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_3}\right)+\frac{1}{{\epsilon }_1}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)\right]\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ ha }}\hfill & {\displaystyle 0\le r<r_1\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}}}\end{array}$ Ugyanez számszerűen: $\begin{array}{c}{\displaystyle U\left(r\right)=\{{\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}{\displaystyle -1075\left(\text{V}\right)\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ ha }}\hfill & {\displaystyle 0\le r<0\mathrm{,}1\text{ m}\mathrm{,}}\hfill \\ {\displaystyle -90/r-175\left(\text{V}\right)\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ ha }}\hfill & {\displaystyle 0\mathrm{,}1\text{ m}\le r<0\mathrm{,}2\text{ m}\mathrm{,}}\hfill \\ {\displaystyle -150/r+125\left(\text{V}\right)\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ ha }}\hfill & {\displaystyle 0\mathrm{,}2\text{ m}\le r<0\mathrm{,}3\text{ m}\mathrm{,}}\hfill \\ {\displaystyle -450/r+1125\left(\text{V}\right)\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ ha }}\hfill & {\displaystyle 0\mathrm{,}3\text{ m}\le r<0\mathrm{,}4\text{ m}\mathrm{,}}\hfill \\ {\displaystyle 0\text{V}}\hfill & {\displaystyle \text{ ha }}\hfill & {\displaystyle 0\mathrm{,}4\text{ m}\le r\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}}}\end{array}$ A számítás során a potenciális energia nullnívóját a középponttól $r_4$ távolságban vettük fel. Az 1. ábrán jól látható, hogy a térerősség függvénynek a dielektrikumok határánál szakadása van, a potenciálfüggvénynek pedig töréspontja.     1. ábra   b) A belső fémgömb töltése $Q$, felületén a töltéssűrűség $\begin{array}{c}{\displaystyle {\sigma }_1=Q/\left(4\pi r_1^2\right)=-3\mathrm{,}9\cdot {10}^{-7}{\text{C m}}^{-2}\mathrm{.}}\end{array}$ Az ${\epsilon }_1$ dielektromos állandójú szigetelő belső felületén $-Q\left(1-1/{\epsilon }_1\right)$, külső felületén $Q\left(1-1/{\epsilon }_1\right)$ polarizációs töltés jelenik meg, ami a belső felületen $\begin{array}{c}{\displaystyle {\sigma }_2=-Q\left(1-1/{\epsilon }_1\right)/\left(4\pi r_1^2\right)=3\mathrm{,}1\cdot {10}^{-7}{\text{C m}}^{-2}\mathrm{,}}\end{array}$ a külsőn pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle \sigma {\text{'}}_2=Q\left(1-1/{\epsilon }_1\right)/\left(4\pi r_2^2\right)=-7\mathrm{,}9\cdot {10}^{-8}{\text{C m}}^{-2}}\end{array}$ töltéssűrűséget hoz létre. Hasonlóan az ${\epsilon }_2$ dielektromos állandójú közeg belső és külső felületén a töltéssűrűség rendre ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\sigma }_3}& {\displaystyle =-Q\left(1-1/{\epsilon }_2\right)/\left(4\pi r_2^2\right)=6\mathrm{,}6\cdot {10}^{-8}{\text{C m}}^{-2}\text{és}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \sigma {\text{'}}_3}& {\displaystyle =Q\left(1-1/{\epsilon }_2\right)/\left(4\pi r_3^2\right)=-2\mathrm{,}9\cdot {10}^{-8}{\text{C m}}^{-2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A külső fémfelületen a töltéssűrűség $\begin{array}{c}{\displaystyle {\sigma }_4=-Q/\left(4\pi r_4^2\right)=2\mathrm{,}5\cdot {10}^{-8}{\text{C m}}^{-2}\mathrm{.}}\end{array}$ c) A rendszer kapacitása ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle C=Q/U\left(r_1\right)=4\pi {\epsilon }_0/[1/r_3-1/r_4+\left(1/r_2-1/r_3\right)/{\epsilon }_2+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle +\left(1/r_1-1/r_2\right)/{\epsilon }_1]=46\text{pF}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ d) A térfogatban foglalt teljes energia: $\begin{array}{c}{\displaystyle W=\left(1/2\right)QU\left(r_1\right)=2\mathrm{,}7\cdot {10}^{-5}\text{J}\mathrm{.}}\end{array}$ e) Az energiasűrűség: $\begin{array}{c}{\displaystyle w\left(r\right)=\left(1/2\right)E\left(r\right)D\left(r\right)=\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle \text{ ha }0\le r<r_1\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle Q^2/\left(32r^4{\pi }^2{\epsilon }_1{\epsilon }_0\right)\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ ha }{r}_1\le r<r_2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle Q^2/\left(32r^4{\pi }^2{\epsilon }_2{\epsilon }_0\right)\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ ha }{r}_2\le r<r_3\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle Q^2/\left(32r^4{\pi }^2{\epsilon }_0\right)\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ ha }{r}_3\le r<r_4\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle \text{ ha }{r}_4\le r\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ ill. számszerűen: $\begin{array}{c}{\displaystyle w\left(r\right)=\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle \text{ ha }0\le r<0\mathrm{,}1\text{ m}\mathrm{,}\text{ vagy }0\mathrm{,}4\text{ m}\le r\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 1\mathrm{,}8\cdot {10}^{-7}/r^4\left({\text{J m}}^{-3}\right)\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ ha }0\mathrm{,}1\text{ m}\le r<0\mathrm{,}2\text{ m}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2\mathrm{,}9\cdot {10}^{-7}/r^4\left({\text{J m}}^{-3}\right)\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ ha }0\mathrm{,}2\text{ m}\le r<0\mathrm{,}3\text{ m}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 8\mathrm{,}9\cdot {10}^{-7}/r^4\left({\text{J m}}^{-3}\right)\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ ha }0\mathrm{,}3\text{ m}\le r<0\mathrm{,}4\text{ m}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ A 2. ábrán látszik, hogy az energiasűrűség a középponttól távolodva rohamosan csökken $(r^{-4}$-nel arányosan).   Balog János (Bp., I. István Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján     2. ábra   Megjegyzések. 1. A rendszer energiáját az energiasűrűségből is kiszámolhatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle W=\underset{V}{\overset{}{\int }}w\text{d}V=\underset{r_1}{\overset{r_4}{\int }}w\left(r\right)4r^2\pi \text{d}r\mathrm{.}}\end{array}$ 2. Gondoljunk a szigetelők határfelületén vékony vezető réteget. Az elektrosztatikai viszonyok változatlanok maradnak, mert e felületek ekvipotenciálisak. A rendszer kapacitását így három sorosan kötött gömbkondenzátor kapacitásának eredőjeként kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle C=4\pi {\epsilon }_0/\left[\frac{r_4-r_3}{r_3{r}_4}+\frac{r_3-r_2}{{\epsilon }_2{r}_2{r}_3}+\frac{r_2-r_1}{{\epsilon }_1{r}_1{r}_2}\right]\mathrm{.}}\end{array}$