Kezdőlap


Feladat:	1030. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Drózdy Győző
Füzet:	1972/szeptember, 41 - 42. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tapadó súrlódás, Gördülés vízszintes felületen, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/január: 1030. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A henger síkbeli mozgást végez, így mozgása szétbomlik a súlypont haladó mozgására és a súlyponton átmenő tengely körüli forgásra. A megfelelő mozgásegyenletek (jelöléseket l. az ábrán):

\begin{matrix} F - S = m a, N - m g = 0, F r + S R = Θ β . \end{matrix}

Hengerről lévén szó

Θ = (1 / 2) m R^{2}

. A csúszásmentes gördülés szükséges feltétele:

\begin{matrix} a = R β . \end{matrix}

Gördüléskor tapadási súrlódás lép föl, amelynek értéke nem lehet akármilyen nagy:

\begin{matrix} | S | < μ_{0} N . \end{matrix}

Ez egyben a gördülés megvalósíthatóságának feltétele.
Az egyenleteket megoldva:

\begin{matrix} N = m g, S = F \frac{R - 2 r}{3 R}, a = \frac{F}{m} \frac{2 (r + R)}{3 R} . \end{matrix}

A súrlódási együtthatóra vonatkozó feltétel:

\begin{matrix} μ_{0} \geq \frac{F}{3 R m g} (R - 2 r) . \end{matrix}

A súrlódási erő pozitív (az ábrán berajzolt irányba mutat), ha

r < R / 2

; az ellenkező irányba, ha

r > R / 2

. A feladatban megadott

r = R / 2

éppen a határeset.

\begin{matrix} S = 0, a = F / m, μ_{0} \geq 0, \end{matrix}

azaz a gördülés a súrlódási együttható tetszőleges értéke mellett megvalósítható.

Drózdy Győző (Bp., Apáczai Csere J. Gimn., III. o. t.) megoldása alapján

Megjegyzés. Tekintettel a nagyszámú hibás megoldásra, vizsgáljuk meg részletesen a gördülés feltételeit. Jelöljük a súlypont sebességét

v

-vel, a súlypont körüli forgás szögsebességét

ω

-val. Ekkor a talajjal érintkező pont sebessége:

\begin{matrix} v - R ω . \end{matrix}

Hengerünk akkor gördül, ha ez a sebesség 0, azaz

\begin{matrix} v = R ω . \end{matrix}

Ebből következik az

\begin{matrix} a = R β \end{matrix}

egyenlőség, míg fordítva nem. (Gondoljunk pl. a talajon súrlódás nélkül csúszó, forgó hengerre.) Sem a haladó, sem a forgó mozgás időben nem változik, azaz

0 = a = R β

, míg általában

v \neq R ω

. Az

a = R β

összefüggés csak szükséges, de nem elegendő feltétel.

Gördüléskor tapadási súrlódási erő lép föl, amely nem lehet akármilyen nagy:

\begin{matrix} | S | \leq μ_{0} N . \end{matrix}

S

értékét a mozgásegyenletek egyértelműen meghatározzák. Ha az így kapott értékre az egyenlőtlenség teljesül, a gördülés (megfelelő kezdeti sebességértékekkel) megvalósítható, egyébként nem.

Összefoglalva: a gördülés szükséges dinamikai feltételei:

\begin{matrix} a = R β és | S | \leq μ_{0} N . \end{matrix}