Kezdőlap


Feladat:	1005. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Matajsz István
Füzet:	1972/március, 136. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogati hőtágulás, Hő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/október: 1005. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $i$ -edik folyadékmennyiség térfogata $t_{0} = 0$ hőmérsékleten $V_{i 0}$ . Akkor $V_{i} = V_{i 0} \cdot (1 + β \cdot t_{i})$ . Ha a $V_{i}$ térfogatú folyadékot a keverés utáni $t$ közös hőmérsékletre hűtjük (vagy melegítjük), a folyadék térfogatváltozása $V'_{i} - V_{i} = Δ V_{i} = V_{i 0} β (t - t_{i})$ . Így az egész folyadék térfogatváltozása az összekeverés során

\begin{matrix} Δ V = \sum_{i = 1}^{n} Δ V_{i} = \sum_{i = 1}^{n} V_{i_{0}} β (t - t_{i}) = β \sum_{i = 1}^{n} V_{i_{0}} (t - t_{i}), \end{matrix}

ahol

β

a folyadék

t_{0} = 0

-ra vonatkoztatott hőtágulási együtthatója.
Számítsuk ki

t

értékét! Feltételezzük, hogy az összekeverés során nem végzünk munkát a folyadékokon, tehát az egyes folyadékrészek által felvett hőmennyiségek előjeles összege 0 :

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} c m_{i} (t - t_{i}) = 0, m_{i} = V_{i_{0}} ϱ_{0}, \end{matrix}

ahol

ϱ_{0}

a folyadék sűrűsége

t_{0} = 0

fokon. Ezért

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} c V_{i_{0}} ϱ (t - t_{i}) = 0, \sum_{i = 1}^{n} V_{i_{0}} (t - t_{i}) = 0. \end{matrix}

Ezt behelyettesítve

Δ V

kifejezésébe, azt kapjuk, hogy

Δ V = 0

. Ezzel az állítást igazoltuk.

Matajsz István (Gyula, Erkel F. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Sok megoldó hibás úton próbálta bebizonyítani az állítást. Kiindulásuk általában az volt, hogy az

i

-edik folyadék térfogata a keverés után

V'_{i} = V_{t} [1 + β (t - t_{i})]

, így a keverés utáni össztérfogat

\begin{matrix} V'_{ö} = \sum V_{1} [1 + β (t - t_{i})] = \sum V_{i} + \sum β V_{i} (t - t_{i}) . \end{matrix}

Ez a kiindulás azért helytelen, mert a

β

függ attól, hogy milyen hőmérsékletre vonatkozik. Az, hogy a megoldóknak így is sikerült "igazolni'' az állítást, egy másik figyelmetlenség eredménye. Ugyanis a továbbiakban a

Δ Q = \sum c ϱ \cdot V_{i} (t - t_{i}) = 0

egyenletet használták. Ez azért nem helyes, mert itt

ϱ

vonatkozik

t_{i}

-re, tehát minden

i

-re más és más.
Az első képlet helyesen

\begin{matrix} V'_{i} = V_{i} [1 + \frac{β_{0}}{1 + β_{0} (t_{i} - t_{0})} (t - t_{i})], \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} V'_{ö} = \sum V_{i} + \sum \frac{β_{0} V_{i}}{1 + β_{0} (t_{i} - t_{0})} (t - t_{i}) . \end{matrix}

Q

-ra vonatkozó pedig

\begin{matrix} Δ Q = \sum c \frac{ϱ_{0} V_{i}}{1 + β (t_{i} - t_{0})} (t - t_{i}) . \end{matrix}

Ezekben a kifejezésekben

β_{0}

és

ϱ_{0}

már valóban azonosak minden folyadékmennyiségre. Tényleg ki lehet emelni őket az összegzés jele elé. A hibás kiindulás csak azért vezetett, jó eredményre, mert

β

is és

ϱ

is ugyanúgy függ a hőmérsékleti alappont megválasztásától.