Kezdőlap


Feladat:	995. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gulyás Ferenc , Somogyi József , Tegze Miklós
Füzet:	1972/február, 90 - 91. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hooke-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/szeptember: 995. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vizsgáljuk meg az $l$ hosszúságú, $A$ keresztmetszetű, $γ$ fajsúlyú huzalban a huzal végétől $x$ távolságra keletkező $σ (x)$ rugalmas feszültséget. Az itt fellépő feszítő erő $F (x) = γ A x$ , és így $σ (x) = γ x$ . A rugalmas feszültség tehát lineárisan nő a huzalban felfelé haladva (l. az ábrát).

Ezért számolhatunk a

σ_{átl.} = γ l / 2

átlagos feszültséggel, így a huzal megnyúlása

\begin{matrix} Δ l_{1} = \frac{l σ_{átl.}}{E} = \frac{γ l^{2}}{2 E} . \end{matrix}

Ez független a keresztmetszettől és egyenesen arányos

l^{2}

-tel, így a huzalhosszat felére csökkentve, a megnyúlás az eredeti negyedére fog csökkenni :

Δ l_{2} = Δ l_{1} / 4

.
Numerikus adatokkal

(E = 2, 1 \cdot 10^{4} {kp/mm}^{2}

γ = 7, 8 {p/cm}^{3}

)

\begin{matrix} Δ l_{1} \approx 2, 7 \cdot 10^{- 2} mm, Δ l_{2} \approx 6, 7 \cdot 10^{- 3} mm . \end{matrix}

Gulyás Ferenc (Csongrád, Batsányi J. Gimn. III. o. t.)

II. megoldás. Osszuk fel az

l

hosszúságú huzalt

n

egyenlő részre. A huzal alsó végétől számított

k

-adik rész a rá ható húzóerő

\begin{matrix} F_{k} = k \cdot A γ l / n hatására Δ l_{k} = \frac{F_{k} l}{E A n} = \frac{γ l^{2} k}{E n^{2}} \end{matrix}

hosszúsággal nyúlik meg. A felosztást minden határon túl finomítva a huzal teljes megnyúlása

\begin{matrix} Δ l = {lim}_{n \to \infty}^{} \sum_{k = 1}^{n} Δ l_{k} = \frac{γ l^{2}}{E} {lim}_{n \to \infty}^{} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k = 1}^{n} k = \frac{γ l^{2}}{E} {lim}_{n \to \infty}^{} \frac{n + 1}{2 n} = \frac{γ l^{2}}{2 E} \approx 2, 7 \cdot 10^{- 2} mm . \end{matrix}

Tegze Miklós (Bp., Kölcsey F. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Több megoldó úgy számolt, hogy a súlyerő a huzal súlypontjában hat és az

l / 2

hosszúságú huzaldarabot nyújtja meg; így téves gondolatmenettel helyes eredményre jutott. Valójában a súlyerő térfogati erő, amely nem a huzal egy adott pontjában hat, és egyedül a rugalmas feszültség lineáris változása jogosít fel arra, hogy a huzal megnyúlását az

F_{átl.} = G / 2

erővel számítsuk ki Hooke‐törvényéből.