Kezdőlap


Feladat:	990. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ábrahám Zoltán , Iglói Ferenc , Szlacsányi Kornél
Füzet:	1972/február, 86 - 87. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Megosztás, Felületi töltéssűrűség, Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/május: 990. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 975. feladat megoldásából tudjuk, hogy egy $Q$ pozitív és $Q_{1}$ negatív töltés terében a 0 potenciálú felület $| Q | > | Q_{1} |$ esetén a $Q / r + Q_{1} / r = 0$ egyenletű Apollóniusz gömb, melynek sugara

\begin{matrix} r_{0} = \frac{Q_{1}^{2}}{Q^{2} - Q_{1}^{2}} d, \end{matrix}

középpontja a két töltést összekötő egyenesen,

Q_{1}

-től

\begin{matrix} x_{0} = \frac{Q_{1}^{2}}{Q^{2} - Q_{1}^{2}} d \end{matrix}

távolságra, a

Q

-t nem tartalmazó oldalon van.

Mivel a földelt vezető gömb 0 potenciálú felület, ezért a gömbön kívüli tér szempontjából helyettesíthető egy olyan

Q_{1}

töltéssel, melynek nagysága és a gömb középpontjától mért távolsága az

\begin{matrix} r_{0} = \frac{- Q_{1} Q}{Q^{2} - Q_{1}^{2}} (R - x_{0}), x_{0} = \frac{Q_{1}^{2}}{Q^{2} - Q_{1}^{2}} (R - x_{0}) \end{matrix}

egyenletrendszerből

Q_{1} = - Q r_{0} / R = - 2 \cdot 10^{- 9} C

x_{0} = r_{0}^{2} / R = 2 cm

.
A gömb felszínén a térerősség a 975. feladat szerint számítható, nagysága

\begin{matrix} E = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{- Q (R^{2} - r_{0}^{2})}{r_{0} {(R^{2} + r_{0}^{2} - 2 R r_{0} cos φ)}^{3 / 2}}, \end{matrix}

a felületre merőleges, a gömb belseje felé mutat. A felületi töltéssűrűség

\begin{matrix} η = E ε_{0} = - \frac{1}{4 π} \frac{Q (R^{2} - r_{0}^{2})}{r_{0} {(R^{2} + r_{0}^{2} - 2 R r_{0} cos φ)}^{3 / 2}} . \end{matrix}

-

előjel azt fejezi ki, hogy a gömb töltése

Q

-val ellentétes előjelű.)
Földeletlen gömb esetén a gömbön levő töltések összegének 0-nak kell maradnia, ehhez a gömb belsejében

- Q_{1}

nagyságú helyettesítő töltést kell elhelyezni. Hogy egyúttal a gömb ekvipotenciális felület is maradjon, a

- Q_{1}

töltést a gömb középpontjába kell helyezni. Ekkor a földelt gömb esetén számított térerősséghez

\begin{matrix} E' = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{- Q_{1}}{r_{0}^{2}} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{Q}{R r_{0}} \end{matrix}

kifelé mutató térerősség adódik a gömb felszínén, a felületi töltéssűrűség

\begin{matrix} η = - \frac{1}{4 π} \frac{Q (R^{2} - r_{0}^{2})}{r_{0} {(R^{2} + r_{0}^{2} - 2 R r_{0} cos φ)}^{3 / 2}} + \frac{1}{4 π} \frac{Q}{r_{0} R} . \end{matrix}

A gömbön influálódó

+

és

-

töltéseket az

η = 0

esetnek megfelelő,

\begin{matrix} cos φ = \frac{R^{2} + r_{0}^{2} - {[R (R^{2} - r_{0}^{2})]}^{2 / 3}}{2 R r_{0}} \end{matrix}

kör választja el.

Iglói Ferenc (Szeged, Radnóti M. Gimn., IV. o. t.)