Kezdőlap


Feladat:	985. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kartaly Béla
Füzet:	1972/január, 41 - 42. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Egyéb egyenletesen változó mozgás, Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/május: 985. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk fel a mozgásegyenleteket és a kényszerfeltételt úgy, hogy pozitív iránynak az $m_{3}$ test lefelé, az $m_{1}$ , $m_{2}$ test lejtőn felfelé való elmozdulását tekintjük:

\begin{matrix} K - \frac{\sqrt[]{2}}{2} m g (1 + μ_{1}) = m a_{1}, k m g - 2 K = k m a_{3}, \\ K - \frac{\sqrt[]{2}}{2} m g (1 + μ_{2}) = m a_{2}, a_{3} = \frac{a_{1} + a_{2}}{2} . \end{matrix}

Az egyenletrendszer megoldása:

\begin{matrix} a_{1} = \frac{2 k \sqrt[]{2} - 4 (1 + μ_{1}) + k (μ_{2} - μ_{1})}{\sqrt[]{2} (4 + 2 k)}, & (1) \\ a_{2} = \frac{2 k \sqrt[]{2} - 4 (1 + μ_{2}) + k (μ_{1} - μ_{2})}{\sqrt[]{2} (4 + 2 k)}, & (2) \\ a_{3} = \frac{a_{1} + a_{2}}{2} . & (3) \end{matrix}

A mozgás irányát a súrlódás nem befolyásolja, hiszen a súrlódási erő csak lelassíthatja, legfeljebb megállíthatja a testeket. Legyen

μ_{1} = 0

és

μ_{2} = 0

, ekkor

a_{1} = a_{2} = a > 0

, ha

2 k \sqrt[]{2} - 4 > 0

, vagyis

k > \sqrt[]{2}

. Ilyen feltétel mellett helyes az irányválasztás. Vizsgáljuk a lehetséges eseteket!
Előfordulhat, hogy

μ_{1}

olyan nagy, hogy az

m_{1}

test nem indul el. Ennek határesete az a

μ'_{1}

súrlódási együttható, melyre már

a_{1} = 0

\begin{matrix} 2 k \sqrt[]{2} - 4 - 4 μ'_{1} + k μ_{2} - k μ'_{1} = 0, ebből & (4) \\ μ'_{1} = \frac{k (2 \sqrt[]{2} + μ_{2}) - 4}{4 + k} . & (5) \end{matrix}

Ha tehát

μ_{1} \geq μ'_{1}

, akkor

a_{1} = 0

, a többi gyorsulás pedig a következő mozgásegyenletek megoldásából adódik:

\begin{matrix} K - \frac{\sqrt[]{2}}{2} m g (1 + μ_{2}) = m a_{2}, k m g - 2 K = k m a_{3}, a_{3} = \frac{a_{2}}{2} . \end{matrix}

A megoldás:

\begin{matrix} a_{2} = \frac{2 k - 2 \sqrt[]{2} (1 + μ_{2})}{4 + k} g \end{matrix}

(6)

\begin{matrix} a_{3} = \frac{a_{2}}{2} . \end{matrix}

(7)

Teljesen hasonló módon, ha

\begin{matrix} μ_{2} \geq μ'_{2} = \frac{k (2 \sqrt[]{2} + μ_{1}) - 4}{4 + k}, \end{matrix}

(8)

akkor

a_{2} = 0

a_{1} = \frac{2 k - 2 \sqrt[]{2} (1 + μ_{1})}{4 + k} g

, (9)

a_{3} = \frac{a_{1}}{2}

. (10)

Előfordulhat, hogy

μ_{1}

és

μ_{2}

egyaránt olyan nagy, hogy egyik test sem indul el. Ennek feltétele:

a_{1} = 0

a_{2} = 0

. Ekkor

\begin{matrix} \frac{k m g}{2} = \frac{\sqrt[]{2}}{2} m g + \frac{\sqrt[]{2}}{2} m g μ''_{1}, μ''_{1} = μ''_{2} = \frac{\sqrt[]{2}}{2} k - 1. \end{matrix}

Amennyiben tehát

μ_{1} \geq μ''_{1}

és

μ_{2} \geq μ''_{2}

, akkor a rendszer nyugalomban lesz.
Ha

k < \sqrt[]{2}

, akkor a súrlódási erők helyébe mindenütt a (

- 1

)-szeresét írjuk. A kritikus súrlódási együtthatók és a gyorsulások egyaránt így számolhatók, hiszen a súrlódási erők mindenütt előjelet váltanak.
A megoldás során felhasználtuk azt, hogy

m_{1} = m_{2}

, és emiatt a lejtőkön nem léphetnek fel olyan gyorsulások, melyek (előjelválasztásunk mellett) ellentétes előjelűek.
A megadott értékeknél ‐ a diszkusszió alapján ‐ a) és b) esetén a rendszer áll, c)-nél

m_{1}

áll,

a_{2}

a (6) egyenlet alapján számítható

(a_{2} \approx \frac{1}{6} g)

Kartaly Béla (Szolnok, Verseghy F. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján