Kezdőlap


Feladat:	983. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Éber Nándor , Engedi Antal , Friedler Ferenc , Gál Péter , Iglói Ferenc , O. Nagy Imre , Tétényi István , Végh János , Zámolyi Ferenc
Füzet:	1972/január, 38 - 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nyugalmi indukció, Vezető ellenállásának számítása, Egyéb változó áram, Soros RLC-kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/április: 983. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Faraday‐féle indukciós törvény szerint az indukált feszültség az

\begin{matrix} U_{i} = \frac{d Φ}{d t} = μ A_{1} \frac{d H}{d t} \end{matrix}

összefüggés alapján számítható.
Az a) esetben a fluxus kezdeti értékéről

Δ t

idő alatt egyenletesen csökken zérusra, az indukált feszültség tehát így írható:

\begin{matrix} U_{i} = μ_{0} A_{1} \frac{H}{Δ t} . \end{matrix}

A toroid ohmikus ellenállása az adott mennyiségekkel a következőképp fejezhető ki:

\begin{matrix} R_{t} = ϱ \frac{l}{q} = ϱ (2 π \sqrt[]{\frac{A}{π}} N) \frac{4}{d^{2} π} = ϱ \frac{8 N}{d^{2}} \sqrt[]{\frac{A}{π}} . \end{matrix}

Így az a) esetben kialakuló áramerősség maximális értéke:

I_{max} = \frac{U_{t}}{R_{t}}

. A feladat numerikus adataival:

\begin{matrix} U_{i} = 0, 25 V, R_{t} = 28 Ω, I_{max} = 9 mA . \end{matrix}

Mutassuk meg, hogy a bekapcsolási önindukció az így kialakuló áramerősséget nem befolyásolja jelentősen! A bekapcsoláskor fellépő önindukciós feszültség miatt az áramerősség

\begin{matrix} I (t) = I_{max} {1 - e^{- \frac{R}{L} t}} \end{matrix}

törvény szerint változik. (Fizika a gimnáziumok szakosított tantervű IV. osztálya számára, I. kötet, folytatás 54. 1.) A légmagos toroid induktivitása

\begin{matrix} L_{0} = μ_{0} \frac{A N^{2}}{2 R π} = 1, 61 \cdot 10^{- 4} \frac{V \cdot s}{A} . \end{matrix}

Határozzuk meg, hogy a bekapcsolás után mennyi ideig ad az önindukciós feszültség

1 %

-nál nagyobb áramot!

\begin{matrix} \frac{I (t)}{I_{max}} = (1 - e^{\frac{R}{L} t}) < 0, 99, ln (10^{- 2}) < - \frac{R}{L} t, t < 2, 8 \cdot 10^{- 5} s . \end{matrix}

Láthatóan ez az idő elhanyagolhatóan kicsiny a teljes folyamat lefolyási idejéhez (

0, 1 s

) képest, ezért úgy vehetjük, mintha mindvégig

I_{max}

értékű egyenáram folyna a toroidban.
A b) esetben a mágneses térerősség

H = H_{0} sin ω t

törvény szerint változik (

f = 50 Hz

), tehát az indukált feszültség:

\begin{matrix} U_{i} (t) = \frac{d Φ}{d t} = μ_{0} A_{1} H_{0} ω cos ω t \equiv U_{max} \cdot cos ω t . \end{matrix}

A vasmag miatt megváltozik a toroid induktivitása:

\begin{matrix} L = μ_{r} \cdot (μ_{0} \frac{A N^{2}}{2 R π}) = μ_{r} \cdot L_{0} . \end{matrix}

Az ohmikus ellenállás változatlanul

R_{i}

-vel egyenlő, az eredő impedancia pedig:

\begin{matrix} Z = \sqrt[]{R_{t}^{2} + {(ω L)}^{2}} . \end{matrix}

Az effektív áramerősség:

I_{eff} = \frac{U_{eff}}{Z}

, és az effektív feszültség értéke:

\begin{matrix} U_{eff} = U_{max} \cdot \frac{\sqrt[]{2}}{2} . \end{matrix}

A feladat számadataival:

\begin{matrix} U_{i} (t) = 7, 85 & \cdot cos ω t \cdot [V], U_{eft} = 5, 49 V (ha H_{0} = 2 \cdot 10^{5} A/m), \\ L & = 3, 22 \cdot 10^{- 2} Vs/A, I_{eff} = 0, 18 A, \\ Z & = 29, 7 V/A, I_{max} = 0, 25 A . \end{matrix}

Az indukált áram tetszőleges

t

időpillanatban:

\begin{matrix} I (t) = I_{max} \cdot cos (ω t - φ), \end{matrix}

ahol a

φ

fázis az ellenállás diagramból számolható:

\begin{matrix} tg φ = \frac{ω L}{R_{t}} = 0, 3610, φ = 19^{\circ} 54' . \end{matrix}

Az önindukciós feszültség az idő függvényében a következőképpen változik:

\begin{matrix} U_{ö i} (t) = L \cdot \frac{d I}{d t} = - L I_{max} ω \cdot sin (ω t - φ) = - 2, 53 \cdot sin (ω t - φ) . \end{matrix}

Iglói Ferenc (Szeged, Radnóti M. Gimn., IV. o. t.)

Zámolyi Ferenc (Bp., Berzsenyi D. Gimn., IV. o. t.)