Kezdőlap


Feladat:	976. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bari Ferenc , Gulyás Ferenc , Szalay Zoltán
Füzet:	1971/december, 238 - 239. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Nyomóerő, kötélerő, Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/április: 976. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk fel a testek mozgásegyenleteit:

\begin{matrix} m_{1} g sin α + K - S_{1} = m_{1} a_{1}, & (1) \\ m_{2} g sin α - K - S_{2} = m_{2} a_{2} . & (2) \end{matrix}

Az egyenletekben

K

a testek között fellépő nyomóerő,

S_{1}

és

S_{2}

a súrlódási erők.
Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor a lejtőre helyezés után a testek nyugalomban maradnak. A gyorsulások ekkor nullák, a súrlódási erőkről pedig tudjuk, hogy

\begin{matrix} S_{1} \leq μ_{1} m_{1} g cos α, & (3) \\ S_{2} \leq μ_{2} m_{2} g cos α . & (4) \end{matrix}

Az (1) és (2) egyenletekből:

\begin{matrix} K = S_{1} - m_{1} g sin α = m_{2} g sin α - S_{2} . \end{matrix}

A (3) és (4) egyenlőtlenségek behelyettesítésével:

\begin{matrix} m_{2} g sin α - μ_{2} m_{2} g cos α \leq K \leq μ_{1} m_{1} g cos α - m_{1} g sin α . \end{matrix}

(5)

A testek között fellépő nyomóerő értékének tehát a fenti intervallumon belül kell lennie.
A nyugalmi helyzet megvalósulásának feltétele az (1) és (2) egyenletekből kapható meg

K

kiküszöbölésével:

\begin{matrix} (m_{1} + m_{2}) g sin α = S_{1} + S_{2} \leq (μ_{1} m_{1} + μ_{2} m_{2}) g cos α, \end{matrix}

azaz a feltétel

\begin{matrix} tg α \leq \frac{μ_{1} m_{1} + μ_{2} m_{3}}{m_{1} + m_{2}} . \end{matrix}

(6)

Amennyiben ez a feltétel nem teljesül, a testek a ráhelyezés után lefelé gyorsulnak, a súrlódási erők meghatározott értéket vesznek fel:

\begin{matrix} S_{1} = μ_{1} m_{1} g cos α, & (7) \\ S_{2} = μ_{2} m_{2} g cos α . & (8) \end{matrix}

Ezeket az értékeket a mozgásegyenletekbe helyettesítve ‐ felhasználva azt, hogy a testek között csak akkor léphet fel erő, ha azok együtt gyorsulnak ‐

K

értékét közvetlenül megkapjuk:

\begin{matrix} K = (μ_{1} - μ_{2}) \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} g cos α . \end{matrix}

(9)

Mivel

K

csak nyomóerő lehet,

K > 0

, azaz az erőhatás feltétele

μ_{1} > μ_{2}

. Ha

μ_{1} = μ_{2}

, a két test külön-külön is egyformán gyorsulna, így értelemszerűen

K = 0

, ami a képletből is adódik.
Ha a testeknek fölfelé irányuló kezdősebességet adunk, a súrlódási erők iránya megfordul, igy a nyomóerő:

\begin{matrix} K = (μ_{2} - μ_{1}) \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} g cos α . \end{matrix}

(10)

amennyiben

μ_{2} > μ_{1}

. Ez az erő csak addig hat, míg a testek meg nem állnak. Ha

μ_{1} > μ_{2}

l, akkor a testek először külön mozognak, de idővel ismét találkoznak és (ha találkozáskor ütközésük rugalmatlan) a (9) vagy (5) képletnek megfelelő erő lép fel köztük.

Szalay Zoltán (Szolnok, Verseghy F. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján