A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az szöget bezáró tükrök között bárhol veszek fel egy tárgyat, annak képe az tükörre szimmetrikusan keletkezik, s így a tárgypont és képe egyenlő távolságra van a tükör bármely pontjától, tehát . -et a másik tükörrel leképezve hasonlóan , és bármely tükrözésre , ahonnan . Ezek szerint egy pont képpontjai egy középpontú, sugarú körön helyezkednek el. Ugyanezen a körön, a tükrök szögfelezőjére szimmetrikusan helyezkednek el azok a képpontok, melyeknél először tükör képezi le a tárgyat.
Vizsgáljuk most csak azokat a képeket, amelyek először -ra való tükrözéssel keletkeznek. Mivel a szögfelezőn van, . A tükrözés miatt , innen , majd , innen . Általában az -edik leképezésnél legyen . Tegyük fel például, hogy az tükör képez le. Ekkor , a tükrözés miatt , és mivel , tehát minden leképezésnél a középponti szög -val nő, és így . Csak akkor látunk képet, ha a képpont irányából érkező fénysugár ténylegesen azon tükör irányából érkezik, amely utoljára leképezte. Mivel a tükrök felváltva képezik le a képpontokat, ez azt jelenti, hogy a páros és páratlan indexű pontok a szögfelező ugyanazon oldalán maradnak. (Nem elég kikötni, hogy mindig csak a tükör foncsorozott falára tükrözhetünk, mivel ez a feltétel nem zárja ki páratlan indexű kép létét a íven.) Az először ugyanazon tükörre tükrözött képek számára tehát . Ha , akkor az először -ra tükrözve keletkező képek száma (azaz szám egész része, vagyis a legnagyobb egész szám, mely nem nagyobb -nál), ugyanannyi kép keletkezik először -re tükrözve is, tehát összesen képet látunk. Ha , akkor az utolsó kép a szögfelezőn keletkezik. Ugyanitt keletkezik egy olyan kép is, melyet először -re tükrözve kapunk, így ekkor a két kép egybeesése miatt csak képet látunk. Speciális esetünkben , ekkor . Mivel minden tükrözés megfordítja a jobb és bal oldalt, ezért a páratlan indexű képek olyan állásúak, ahogy tükörben látjuk magunkat, a páros indexűek az oda- és visszafordítások azonos száma miatt olyanok, ahogy mások látnak bennünket. Mivel a szögfelezőn történő kép-összeesés csak jól meghatározott szögeknél következik be, ezért ezt a jelenséget használhatjuk a tükrök hajlásszögének beállítására. Be tudunk állítani minden hajlásszöget . A szög értékét a képek számából határozhatjuk meg, ha képet látunk ( páratlan), akkor . (Ezek a szögek nem azonosak a csak körző és vonalzó felhasználásával szerkeszthető szögekkel. A beállításnak a fényszóródás és elnyelés a gyakorlatban határt szab.)
Gegus Gábor (Bp., Móricz Zs. Gimn., III. o. t.) | Megjegyzés. Megoldható a feladat annak elemzése alapján is, hogy mi a feltétele annak, hogy a tárgyról egy irányban kiinduló fénysugár ugyanoda érkezzen vissza. Visszaérkezik a fénysugár akkor, ha egy tükörre merőlegesen esik be (páratlan index), és ha a sugármenet a szögfelezőre szimmetrikus (páros index).
Pataki Béla (Bp., I. István Gimn., III. o. t. ) |
|