Feladat: 973. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Boros Endre ,  Szlacsányi Kornél 
Füzet: 1971/december, 233 - 234. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb (gázok fajhőjével kapcsolatos), Felületi feszültségből származó energia, Görbületi nyomás, I. főtétel, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/március: 973. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy α felületi feszültségű hártyából készült r sugarú buborékban a gáz nyomása (lásd Budó ‐ Pócza: Kísérleti fizika):

p=p0+4αr=4αr, ha p0=0 a külső nyomás.
Mivel

r=34π3V1/3,azértp=4π334αV1/3,tehátpV1/3=4π334α=áll.
A 965. feladat megoldása szerint a gáz fajhője az ilyen folyamatokban
c=Cv+k1-n,
ahol Cv a molekulahő, k a Boltzmann-állandó. Esetünkben n=1/3, tehát
c=Cv+(3/2)k,
függetlenül a buborék anyagától és a gáz állapotától.
 

Szlacsányi Kornél (Bp., Berzsenyi D. Gimn., IV. o. t.)

 

Kiegészítés. Vizsgáljuk azt az általánosabb esetet, amikor a külső nyomás p00! Ekkor a folyamat nem hozható pVn=áll. alakra, és a fajhő meghatározásánál végig kell járni a szokásos utat.
Az I. főtétel szerint a belső energia (U) változása (dU) egyenlő a hő formájában kapott energia (δQ) és a gáz által végzett munka összegével:
dU=δQ+(-p0)dV+αdA,aholA=24r2π
a folyadékréteg felszíne. (Jelen esetben nemcsak térfogati munka van, a folyadékfelszín növelése is energiát igényel.)
Ismert továbbá az ideális gáz állapotegyenlete pV=NkT, U=CvNT, és a folyamatra jellemző egyenlőségek:
p=p0+4αr,V=43r3π.
Ennek alapján és a fajhő definíciója szerint:
c=1NδQdT=dU-(-p0)dV-αdANdT=Cv+p0NdVdT-αNdAdT.
A térfogat, felszín és a hőmérséklet változását kifejezzük a buborék sugarának kicsiny változása (Δr) segítségével:
dV=(4/3)(r+Δr)3-(4/3)r3π4r2πΔr,dA=4(r+Δr)2π-4r2π8rπΔr,dT=1Nk(p2V2-p1V1)=1Nk[(p0+4αr+Δr)(4/3)(r+Δr)3π-(p0+4αr)(4/3)r3π]1Nk(323απrΔr+4p0πr2Δr).
(Δr egynél magasabb rendű hatványait tartalmazó tagokat elhanyagoltuk, továbbá felhasználtuk, hogy 1r+Δr=1r(11+Δr/r)1r(1-Δrr).)

Behelyettesítve és a lehetséges egyszerűsítéseket elvégezve
c=Cv+k(p0r2α-1)43+p0r2α.

Boros Endre (Bp., I. István Gimn., III. o. t. )