Feladat: 971. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balog János ,  Boros Endre ,  Márkus László 
Füzet: 1971/december, 232 - 233. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Görbevonalú mozgás lejtőn, Munkatétel, Energia homogén gravitációs mezőben, Mozgási energia, Egyéb optikai leképezés, Analógia alkalmazása, Fermat-elv, Teljes visszaverődés (Optikai alapjelenségek), Egyéb anyaghullámok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/március: 971. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vezessünk be egy olyan koordinátarendszert, melynek x tengelye párhuzamos a lejtőt alkotó egyenesekkel, z tengelye függőleges, y tengelye pedig e kettőre merőleges. Legyen az alsó síkon az y tengely irányától mért α szögben v1 kezdősebességgel elindított test sebessége a felső síkon v2, iránya pedig zárjon be β szöget az y tengellyel (1. ábra).

 

 
A lejtő alakjának származtatása miatt a mozgás folyamán x irányú kényszererők nem lépnek fel, ezért az impulzusmegmaradás törvényének értelmében az x irányú sebességkomponens mindvégig állandó marad. A kezdeti és végállapotra felírva:
v1x=v2xazazv1sinα=v2sinβ.(1)
Az energiamegmaradás törvényéből ugyanakkor következik, hogy
v2v1=E2E1=E-mghE(2)
Az (1) egyenlettel összevetve:
sinαsinβ=E-mghE=állandó.(3)
Végeredményül tehát a fénytanból ismert törési törvényhez hasonló alakú összefüggést kaptunk az ,,elindítási'' és ,,beérkezési'' irányokra. (A különbség csak annyi, hogy míg a fényre sinαsinβ=vαvβ= áll., addig itt
sinαsinβ=1/v11/v2=áll.)

A valós megoldás feltétele E-mgh>0, a fizikailag helyes megoldás feltétele ‐ az, hogy a test feljusson a felső lejtőre ‐ ennél szigorúbb:
(1/2)mvy2-mgh>0,azazEcos2α-mgh>0.(4)
Ha ez az egyenlőtlenség nem teljesül, akkor a test visszakerül az alsó síkra, s miközben x irányú sebességkomponense változatlan marad, az y irányú komponens előjelet vált. Ez az eset a teljes visszaverődésnek felel meg.
 

Márkus László (Sopron, Széchenyi I. Gimn., III. o .t.)
 

Megjegyzés. A geometriai optika és a klasszikus mechanika közti kapcsolat nemcsak a fenti speciális esetben, hanem általános esetben is ‐ magasabb matematikai módszerekkel ‐ megtalálható. Ez az analógia jelentős segítséget nyújtott a kvantummechanika megalkotásához. (L.: Budó: Mechanika 38. §.)