Kezdőlap


Feladat:	969. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kawka László
Füzet:	1971/december, 230 - 231. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Állócsiga, Mozgócsiga, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/március: 969. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Mindhárom testre felírjuk Newton II. törvényét: mivel a csigákon súrlódás nincs, a kötélben végig $K$ erő hat, tehát

\begin{matrix} m_{1} g sin α - K = m_{1} a_{1}, így a_{1} = g sin α - K / m_{1}; \\ m_{2} g - 2 K = m_{2} a_{2}, így a_{2} = g - K / m_{2}; \\ m_{3} g - K = m_{3} a_{3}, így a_{3} = g - K / m_{3}; \end{matrix}

A kötél nyújthatatlanságát kifejező egyenlet:

\begin{matrix} a_{1} + 2 a_{2} + a_{3} = 0. \end{matrix}

Ebbe behelyettesítjük a gyorsulások értékét:

\begin{matrix} (g sin α - K / m_{1}) + 2 (g - 2 K / m_{2}) + (g - K / m_{3}) = 0, \end{matrix}

ahonnan

K

értéke:

\begin{matrix} K = \frac{g (sin α + 3) m_{1} m_{2} m_{3}}{m_{1} m_{2} + 4 m_{2} m_{3} + m_{3} m_{1}} . \end{matrix}

Visszahelyettesítjük

K

-t a gyorsulások kifejezésébe:

\begin{matrix} a_{1} & = g (sin α - \frac{(sin α + 3) m_{2} m_{3}}{m_{1} m_{2} + m_{2} m_{3} + 4 m_{3} m_{1}}) = g \frac{m_{1} \cdot (4 m_{3} + m_{2}) sin α - 3 m_{2} m_{3}}{m_{1} m_{2} + m_{2} m_{3} + 4 m_{3} m_{1}}, \\ a_{2} & = g (1 - \frac{2 (sin α + 3) m_{1} m_{3}}{m_{1} m_{2} + m_{2} m_{3} + 4 m_{3} m_{1}}) = g \frac{m_{2} (m_{1} + m_{3}) - 2 m_{1} m_{3} (sin α + 1)}{m_{1} m_{2} + m_{2} m_{3} + 4 m_{3} m_{1}}, \\ a_{3} & = g (1 - \frac{(sin α + 3) m_{1} m_{2}}{m_{1} m_{2} + m_{2} m_{3} + 4 m_{3} m_{1}}) = g \frac{m_{3} (m_{2} + 4 m_{1}) - m_{1} m_{2} (sin α + 2)}{m_{1} m_{2} + m_{2} m_{3} + 4 m_{3} m_{1}} . \end{matrix}

b) A második és harmadik test nyugalomban maradásának a feltétele:

K = g m_{2} / 2

, illetve

K = m_{3} \cdot g

. Az első testnél, mivel az

F_{S}

súrlódási erő nem 0, a nyugalom feltétele:

m_{1} g sin α - K + F_{S} = 0

, és tudjuk, hogy

\begin{matrix} - μ m_{1} \cdot g \cdot cos α \leq F_{S} \leq μ m_{1} g cos α F_{S} \end{matrix}

irányát és nagyságát az határozza meg, hogy mekkora és milyen irányú erő akarja a testet elmozdítani. A három egyenletből és az egyenlőtlenségből

K

és

F_{S}

értékét kiküszöbölve kapjuk, hogy a rendszer nyugalmának a feltétele:

\begin{matrix} m_{1} (sin α - μ \cdot cos α) \leq m_{2} / 2 = m_{3} \leq m_{1} (sin α + μ cos α) . \end{matrix}

Kawka László (Bp., Radnóti M. Gyak. Gimn., II. o. t. )

Megjegyzés. a) A megoldók viszonylag nagy része úgy számolt, hogy a kötél különböző szakaszaiban különböző nagyságú erők ébrednek. Ilyen csak akkor lehetséges, ha a csigákon van súrlódás. Súrlódás nélkül a kötél futását a csigán semmi nem akadályozza, így a csigán való áthúzás nem ébreszt külön erőt a kötélben.
b) A másik tipikus hiba az volt, hogy a megoldók általában a lejtőn felfelé mutató

μ m_{1} g cos α

nagyságú súrlódási erőt feltételeztek. Pedig ez csak egy határeset, akkor áll fenn, ha a test lefelé mozog a lejtőn, vagy éppen hogy nem mozdul el lefelé. A nyugalmi súrlódási erő mindig olyan, hogy éppen kiegyenlíti a testet elmozdítani igyekvő erőt. Példánkban a test mozoghat felfelé is, és lefelé is a tömegek arányától függően, így az elmozdulást akadályozó erő mutathat lefelé és fölfelé is.