Kezdőlap


Feladat:	965. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hollósy Gábor , Pipek János
Füzet:	1971/október, 94 - 96. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (gázok fajhőjével kapcsolatos), I. főtétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/február: 965. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A termodinamika I. főtétele szerint

\begin{matrix} U_{2} - U_{1} = Δ Q + Δ L, \end{matrix}

(1)

ahol

U_{2} - U_{1}

a gáz energiájának változása,

Δ Q

a gáz által elvett hő,

Δ L

a gázon végzett munka. Ismert továbbá a vizsgált anyag állapotegyenlete:

\begin{matrix} p V & = N k T, & (2) \\ U & = C_{v} N T, & (3) \end{matrix}

és a folyamatot leíró egyenlőség:

\begin{matrix} p V^{α} = áll . \end{matrix}

(4)

Az (1) egyenletből

\begin{matrix} Δ Q = (U_{2} - U_{1}) - Δ L . \end{matrix}

(5)

Az energiaváltozást a (3) egyenlőségből kapjuk:

\begin{matrix} U_{2} - U_{1} = C_{v} N T_{2} - C_{v} N T_{1} = C_{v} N Δ T . \end{matrix}

(6)

A gázon végzett munka a jelen esetben:

\begin{matrix} Δ L = - p Δ V . \end{matrix}

(7)

Az itt szereplő

Δ V

-t a (2) és (4) összefüggésekből kaphatjuk, ugyanis ezekből

V

-t kifejezve

\begin{matrix} V = {(\frac{N k T}{áll .})}^{\frac{1}{1 - α}}, tehát \\ Δ V = {(\frac{N k}{áll .})}^{\frac{1}{1 - α}} [{(T + Δ T)}^{\frac{1}{1 - α}} - T^{\frac{1}{1 - α}}] . \end{matrix}

A mondott közelítéssel és a (4) egyenlőség ismételt felhasználásával

\begin{matrix} Δ V = \frac{1}{1 - α} \frac{V}{T} Δ T . \end{matrix}

(8)

Ezt behelyettesítve (7)-be, és figyelembe véve (2)-t:

\begin{matrix} Δ L = - \frac{1}{1 - α} N k Δ T . \end{matrix}

(9)

Végeredményben

\begin{matrix} Δ Q = C_{v} N Δ T + \frac{1}{1 - α} N k Δ T . \end{matrix}

(10)

A fajhő fenti definíciója szerint

\begin{matrix} c = \frac{1}{N} \frac{Δ Q}{Δ T} = C_{v} + \frac{k}{1 - α} . \end{matrix}

(11)

Ez az egyenlőség speciális esetként tartalmazza az izobár (

α = 0

c = C_{v} + k = C_{p}

), az adiabatikus (

α = C_{p} / C_{v}

c = 0

), az izoterm (

α \to 1

c \to \infty

) és az izochor (

α \to \infty

c \to C_{v}

) folyamatra jellemző fajhő értékeket.

α > C_{p} / C_{v}

esetén a fajhő negatív szám. Ez azt jelenti, hogy a hőmérsékletet növelve [ahhoz, hogy közben a (4) egyenlőség is teljesüljön] a gázt annyira össze kell nyomni, hogy végeredményben hő szabadul fel.

Pipek János (Bp., I. István Gimn., III. o. t.)

Kiegészítés. Láthatjuk, hogy a (4) egyenlőséggel jellemzett folyamatokban a fajhő független az állapottól (a [11] egyenlőségben nem szerepel

p

V

T

). Bizonyítható, hogy e tulajdonsággal (ideális gázt vizsgálva) csak az ilyen folyamatok rendelkeznek.

Hollósy Gábor (Sopron, Széchenyi I. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. A matematikai nehézségek kevésbé fedik el a fizikai problémát, ha a gázon végzett munkát

\begin{matrix} Δ L = \int_{v_{1}}^{v_{2}} - p d V = - \int_{v_{1}}^{v_{2}} \frac{áll.}{V^{α}} d V = \frac{1}{α - 1} (p_{2} V_{2} - P_{1} V_{1}) \end{matrix}

alakban számoljuk ki, és az állapotegyenlet felhasználásával jutunk a

\begin{matrix} Δ L = - \frac{1}{1 - α} N k Δ T \end{matrix}

egyenlőséghez.