Kezdőlap


Feladat:	964. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Filep János
Füzet:	1971/október, 93 - 94. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyűjtőlencse, Egyéb változó mozgás, Elemi függvények differenciálhányadosai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/február: 964. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $f$ fókusztávolságú gyűjtőlencse a tőle $t$ távolságra levő tárgypontot a lencsetörvényből kifejezhető

\begin{matrix} k = \frac{f \cdot t}{t - f} \end{matrix}

(1)

távolságra képezi le. A képpont sebességét ‐ a definíció szerint ‐ (1)-nek a

τ

idő szerint első differenciálhányadosa adja (a

t = f

esetet kizárva). A differenciálásnál vegyük figyelembe, hogy (1)-ben a

t

tárgytávolság az idő függvénye, míg

f

független az időtől. Az összetett függvény differenciálására vonatkozó láncszabály szerint:

\begin{matrix} v_{k} = \frac{d k}{d τ} = \frac{d k}{d t} \cdot \frac{d t}{d τ} = \frac{f (t - f) - f t}{{(t - f)}^{2}} \cdot \frac{d t}{d τ} = - \frac{f^{2}}{{(t - f)}^{2}} \cdot \frac{d t}{d τ} . \end{matrix}

(2)

Ha lencse felé mozog a tárgy (csökken

t

értéke), akkor a tárgypont sebessége:

\begin{matrix} v_{t} = - \frac{d t}{d τ} . \end{matrix}

(3)

(3)-at (2)-be helyettesítve kapjuk meg a képpont sebességét:

\begin{matrix} v_{k} = \frac{f^{2}}{{(t - f)}^{2}} \cdot v_{t} . \end{matrix}

A tárgy és a kép egymáshoz viszonyított sebessége:

\begin{matrix} Δ v = v_{t} - v_{k} . \end{matrix}

A numerikus értékeket felhasználva:

\begin{matrix} v_{k} = \frac{10^{2}}{{(30 - 10)}^{2}} \cdot 200 cm/s = 50 cm/s, Δ v = 200 cm/s - 50 cm/s = 1, 5 m/s . \end{matrix}

Filep János (Bp., I. István Gimn., III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Több megoldó dolgozatában minden ok nélkül feltételezte, hogy a képpont is egyenletes sebességgel mozog, ami (2) alapján nem áll fenn.
2. Gyakori hiba volt, hogy az előjelek figyelmen kívül hagyása miatt a relatív sebességre

2, 5

m/s érték adódott.