Kezdőlap


Feladat:	950. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Soós Miklós
Füzet:	1971/május, 236 - 237. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Folytonossági (kontinuitási) egyenlet, Közlekedőedény, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/december: 950. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A nyomás hatására az egyik szárban emelkedjék meg a higany szintje $X$ -szel (a másik szárban ugyanennyit csökken). Az egyensúly feltétele:

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 X γ_{Hg} & = p, innen \\ X & = \frac{p}{2 γ_{Hg}} . \end{matrix} \end{matrix}

A nyomás megszüntetése után a higanyoszlopok magasságkülönbségéből származó erő a higanyt eredeti egyensúlyi helyzete felé gyorsítja. Az erő előjeles nagysága, az irányt is figyelembe véve

\begin{matrix} F = - 2 x \cdot A \cdot γ_{Hg} \end{matrix}

ahol

x

a pillanatnyi kitérés. Tehát a higanyt mozgató erő arányos a pillanatnyi kitéréssel és azzal ellentétes irányú. Ennek megfelelően a higany harmonikus rezgőmozgást fog végezni. A rezgés periódusideje

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{m}{k}}, \end{matrix}

ahol

m = V \cdot ϱ_{Hg} = V γ_{Hg} / g

az összes higany tömege, és

k = 2 A γ_{Hg}

az erő és a kitérés közötti arányossági tényező.

Így

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{V γ_{Hg}}{g 2 A γ_{Hg}}} = 2 π \sqrt[]{\frac{V}{2 A g}} . \end{matrix}

A rezgés amplitudója

X = \frac{p}{2 γ_{Hg}}

.
A higanyszintek mozgását leíró függvény tehát

\begin{matrix} x = X \cdot sin (\frac{2 π}{T} \cdot t + φ), \end{matrix}

ha az időt a nyomás megszüntétől mérjük, a fázisszög

\begin{matrix} φ = π / 2, \end{matrix}

mivel a kitérés a

t = 0

időpillanatban maximális. Tehát

\begin{matrix} x = X \cdot sin (\frac{2 π}{T} \cdot t + \frac{π}{2}) = X \cdot cos \frac{2 π}{T} \cdot t = \frac{p}{2 γ_{Hg}} cos \sqrt[]{\frac{2 A g}{V}} \cdot t . \end{matrix}

Számadatainkkal

X = 3, 7 mm

;

T \approx 1 s

Soós Lajos (Miskolc, Földes F. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Több megoldó úgy számolt, hogy a eső egyik szárában csak a

p = 10^{- 2}

at nyomás van, míg a másik szárban

1

atm. Ez viszont a megadott körülmények közt nem lehetséges, mert ekkora nyomáskülönbség kiegyenlítésére kb.

76 cm

-es higanyszintkülönbség kellene, viszont a feladat szerint csak

50 cm

-es higanyoszlopunk van. Mivel a cső mindkét végén nyitott, feltételezhetjük, hogy mindkét szárban a felszínre ható külső nyomás

1

atm, a

10^{- 2}

at pedig túlnyomás, amit például a csőbe való befújással hozunk létre.