Feladat: 946. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csatár János ,  Kartaly Béla ,  Molnár Gábor ,  Szőcs Péter ,  Tegze Miklós 
Füzet: 1971/szeptember, 40 - 41. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb merev test síkmozgások, Egyenletesen gyorsuló rendszerek, Merev test egyensúlya, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/december: 946. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vizsgáljuk a test mozgását inerciarendszerben! Ekkor a tégla vízszintes irányban gyorsulva mozog, és amennyiben nem billen fel, akkor bármely képzeletbeli tengely körüli szöggyorsulása 0.
Tudjuk, hogy egy test β szöggyorsulását a rá ható forgatónyomatékok M eredője határozza meg az M=Θβ egyenlőség alapján (Θ a választott tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték). Ez az egyenlet (amely Newton második törvényéből levezethető) csak
a) inerciarendszerben nyugvó tengely (pillanatnyi forgástengely); vagy
b) a testhez rögzített, a tömegközépponton áthaladó tengely körüli forgatónyomatékokra, illetve szöggyorsulásokra érvényes.
A fentiek alapján annak feltétele, hogy a test ne billenjen fel:

M=0,(1)
ahol a forgatónyomatékot a súlyponton áthaladó tengelyre írtuk fel. (A pillanatnyi forgástengely a végtelenben van, ezért számolásra nem alkalmas.)
A testre ható erők:
‐ a vízszintes irányú F erő, melynek hatásvonala az alaptól h magasságban van;
‐ a függőleges irányú G súlyerő, melynek hatásvonala a szimmetriasíkban van;
‐ a talaj által kifejtett erők N eredője, amely a súrlódás hiánya miatt függőleges, és hatásvonala mindig a két legtávolabbi alátámasztási pont között halad. Az (1) kikötés szerint
F(h-c)-Nx=0,(2)
ahol x az N eredőnek a középvonaltól mért előjeles távolsága (1. ábra).
 
 
1. ábra
 

Másrészt, mivel a tégla gyorsulásának függőleges komponense 0, Newton második törvényéből N=G, továbbá az N erő hatásvonalára tett megjegyzés, alapján -b≤x≤b.
Végeredményben
h≤c esetén a (2) egyenlőségből F≤Gbc-h,
h≥c esetén F≤Gbh-c.
A felbillenés határán az egyenlőség teljesül, és ekkor a talaj a téglát első vagy hátsó éle mentén nyomja (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

II. megoldás. A jelenséget a téglával együtt gyorsuló koordinátarendszerben vizsgálva, a probléma egy sztatikai feladattá válik, azonban fel kell venni az előbb felsoroltakon kívül egy ‐ a tömegközéppontban ható, a koordinátarendszer gyorsulásával ellentétes irányú, F'=ma nagyságú tehetetlenségi erőt (3. ábra). Esetünkben a=F/m, ezért F'=F.
 
 
3. ábra
 

Forgástengelynek a test egyik alsó élét választva, a két erőpár által kifejtett forgatónyomatékok összege: M=F(h-c)-Gx.
Az egyensúly feltétele M=0. A továbbiakban az előző megoldás szerint járunk el.
A függvényt ábrázolva láthatjuk, hogy ha az erő a súlypont magasságában hat, akkor bármekkora lehet. A súlypont felett ható erő a téglát előre rántja, a súlypont alatti erő hatására a test ,,hanyatt vágódik''.
 
 
4. ábra
 

Szőcs Péter (Bonyhád, Petőfi S. Gimn., II. o. t.)

Kartaly Béla (Szolnok, Verseghy F.Gimn., II. o. t.)
 

Megjegyzés. A megoldók jelentős része az első gondolatmenetet követte, és hibát vétett akkor, amikor forgástengelynek a test alapélét választotta, amelyre ‐ mivel az gyorsuló, nem súlyponti tengely ‐ nem igaz az alapvető M=Θβ összefüggés. (A forgó mozgással foglalkozik a Középiskolai Matematikai Lapok 1968. évi 5., 1968 évi 6., és az 1969. évi 1. száma.)