Kezdőlap


Feladat:	930. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Pataki Gábor , Tegze Miklós
Füzet:	1971/március, 140 - 142. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erőrendszer eredője, Hidrosztatikai nyomás, Tömegpont egyensúlya, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/október: 930. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A pálca helyzetét jellemezzük középvonala felső végének és a $h_{1}$ magasságú folyadék felszínének $x$ távolságával. Feltesszük, hogy a folyadékszint a kis keresztmetszetű pálca mozgása során nem változik.
Az egyensúly feltétele, hogy a pálcára ható erők eredője $0$ legyen. A furatra merőleges komponensekre ez a furat hatása miatt mindig teljesül.

A hossztengely irányában a véglapokat nyomó

F_{1}

, illetve

F_{2}

erők, valamint a pálca súlyának hosszirányú

F

összetevője hat. Ezek egyenként:

\begin{matrix} F_{1} & = A \cdot x \cdot γ_{1}, & (1) \\ F_{2} & = A \cdot (h_{2} - h_{1} + x + l \cdot sin α) \cdot γ_{2}, & (2) \\ F & = A \cdot l \cdot (sin α) \cdot γ, & (3) \end{matrix}

A

a pálca keresztmetszete. A hosszirányba ható eredő erő:

\begin{matrix} F_{e} = F + F_{1} - F_{2} = A [x (γ_{1} - γ_{2}) - (h_{2} - h_{1}) γ_{2} - l (sin α) (γ_{2} - γ)] \end{matrix}

(4)

(ez pozitív, ha az eredő a rúd tengelye mentén lefelé mutat).
Egyensúly esetén

F_{e} = 0

; ez az

\begin{matrix} x_{0} = \frac{(h_{2} - h_{1}) γ_{2} + l (sin α) (γ_{2} - γ)}{γ_{1} - γ_{2}} \end{matrix}

(5)

összefüggéssel megadott helyen teljesülhet, ha a lyuk helyzete olyan, hogy a pálcának legalább egy kis darabja a lyukban marad.

x_{0}

természetesen csak a folyadékszintek különbségétől függ.
Az egyensúlyi helyzet stabilitásának vizsgálatához vezessük be új jellemzőnek az egyensúlyi helyzettől való

u = x - x_{0}

eltérést. Ekkor

x = x_{0} + u

, ezt (4)-be helyettesítve

\begin{matrix} F_{e} = A (γ_{1} - γ_{2}) \cdot u \end{matrix}

(6)

Ennek alapján megállapíthatjuk, hogy ha azon folyadék fajsúlya nagyobb, melybe a pálca felső vége nyúlik

(γ_{1} > γ_{2})

, akkor az egyensúly labilis, mert a bot kitérítésekor a fellépő erő a kitérést növelni igyekszik.
Ha

γ_{2} > γ_{1}

, akkor az egyensúly stabilis.
Esetünkben

x_{0} = 15, 33 cm

, az egyensúlyi helyzet labilis.

Kiegészítés: Ha az (5) összefüggés végeredményül negatív számot adna, akkor ez annak felelne meg, hogy a pálca vége kiemelkedik a vízből. Ekkor azonban (1) nem igaz, helyette

\begin{matrix} F'_{1} & = 0, és ekkor & (1') \\ x'_{0} & = - \frac{(h_{2} - h_{1}) γ_{2} + l (sin α) (γ_{2} - γ_{1})}{γ_{2}} & (5') \end{matrix}

szolgáltatja az egyensúly helyét (amely mindig stabilis). A számadatok megfelelő választása mellett a bot akár az (5), akár az (5') helyen egyensúlyban lehet. (Esetünkben

x'_{0} = - 12, 3 cm

lenne, ez azonban a pálca rövidsége miatt nem jöhet létre.)

Tegze Miklós (Bp., Kölcsey F. Gimn., I. o. t. )

Megjegyzések. 1. A kitűzéskor az ábrán jelölt és a szövegben közölt magasságadatok nem voltak összhangban.
2. A (6) egyenlőség Newton II. törvényével együtt meghatározza a pálca mozgását. A tömeget és a gyorsulást megfelelő módon behelyettesítve és a végeredményt a harmonikus rezgőmozgás alapegyenletével összevetve kapjuk, hogy ha

γ_{2} > γ_{1}

, akkor a pálca az egyensúlyi helyzete körül

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{l}{g} \cdot \frac{γ}{(γ_{2} - γ_{1}) sin α}} \end{matrix}

periódusidővel rezgést fog végezni, amelynek amplitúdója a kitérítés nagyságától függ. Ez az eredmény a valóságot csak közelíti, mert nem vettük figyelembe a közegellenállást és a megmozgatott folyadék tömegét.