Kezdőlap


Feladat:	925. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berkes Enikő , Egyedi Dániel , Iglói Ferenc
Füzet:	1971/március, 135 - 136. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Úszás-stabilitás, Arkhimédész törvénye, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/szeptember: 925. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyensúly esetén a gyertyára ható erők eredője nulla. Ha $x$ -szel jelöljük a folyadékból kiálló rész hosszát, akkor a gyertya meggyújtása pillanatában

\begin{matrix} m g + L A ϱ g = (L - x) A ϱ_{0} g, ahonnan \\ x = L \frac{ϱ_{0} - ϱ}{ϱ_{0}} - \frac{m}{A ϱ_{0}} . & (1) \end{matrix}

Miközben a gyertya ég,

L

állandóan csökken. Vizsgáljuk (1)-nek megfelelően

x

-et, mint

L

függvényét. A gyertya addig éghet, ameddig

x > 0

. Amikor a gyertya hossza eléri az

\begin{matrix} L_{0} = \frac{m}{A (ϱ_{0} - ϱ)} \end{matrix}

értéket, akkor

x = 0

, és a lángot eloltja a folyadék.
A folyadék alatti rész hossza

\begin{matrix} L - x = L \frac{ϱ}{ϱ_{0}} + \frac{m}{A ϱ_{0}}, \end{matrix}

amely

L

csökkenésével szintén csökken. Ezért abban a pillanatban lesz a legrövidebb rész a folyadék alatt, amikor a gyertya elalszik.
Amennyiben a lemerülő rész és a teljes hossz arányát tekintjük, úgy az

\begin{matrix} \frac{L \frac{ϱ}{ϱ_{0}} + \frac{m}{A ϱ_{0}}}{L} = \frac{ϱ}{ϱ_{0}} + \frac{m}{A ϱ_{0} L} \end{matrix}

függvényt kell vizsgálnunk, amely azonban

L

csökkenésével növekszik. Tehát a gyertya meggyújtásának pillanatában volt a gyertya legkisebb hányada a folyadék alatt.
Vizsgáljuk meg, hogy milyen kiindulási értékek mellett van értelme a fenti megoldásnak! A gyertyát csak akkor lehet meggyújtani, ha az úszik a folyadékban. Ennek az a feltétele, hogy a kezdeti

L

hosszúsággal fennálljon az

\begin{matrix} L \frac{ϱ_{0} - ϱ}{ϱ} - \frac{m}{A ϱ_{0}} > 0 \end{matrix}

egyenlőtlenség. Amennyiben egyenlőség vagy fordított egyenlőtlenség teljesül, akkor a gyertya lebeg, illetve elmerül, tehát nem tudjuk meggyújtani.
Szükséges még, hogy a gyertya stabilan függőlegesen álljon a folyadékban. Ez akkor teljesül, ha a gyertya és a fémgolyó közös súlypontja alacsonyabban helyezkedik el, mint a felhajtóerő támadáspontja. Az utóbbi a folyadékba merülő rész geometriai középpontjában van. A súlypont a gyertya aljától

\begin{matrix} s = \frac{L A ϱ}{L A ϱ + m} \cdot \frac{L}{2} \end{matrix}

távolságban van, a bemerülő rész középpontja pedig

\begin{matrix} h = \frac{m + L A ϱ}{2 A ϱ_{0}} \end{matrix}

magasságban. A stabilitási feltétel:

\begin{matrix} \frac{L^{2} A ϱ}{2 (L A ϱ + m)} < \frac{m + L A ϱ}{2 A ϱ_{0}}, \end{matrix}

ahonnan átrendezéssel, majd gyököt vonva

\begin{matrix} L < \frac{m}{A (\sqrt[]{ϱ ϱ_{0} - ϱ})} . \end{matrix}

Ha ez fennáll a kezdeti

L

értéknél, akkor csökkenő

L

-lel még jobban teljesül, azaz a gyertya csak a meggyújtása előtt dőlhet el.

Berkes Enikő (Bp., Kossuth Zs. Gimn., III. o. t. )

és Egyedi Dániel (Nagykőrös, Arany J. Gimn., IV. o. t. )