Kezdőlap


Feladat:	924. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Pipek János
Füzet:	1971/március, 134 - 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Párhuzamos erők eredője, Felhajtóerő, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/szeptember: 924. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kockára három erő hat:
1. A kocka középpontjában függőlegesen lefelé mutató súlyerő:

\begin{matrix} G = a^{3} \cdot γ (γ a kocka fajsúlya); \end{matrix}

2. a folyadékba merülő rész súlypontjában a függőlegesen felfelé irányuló archimedesi felhajtóerő:

\begin{matrix} F = a^{3} \frac{tg φ}{2} \cdot 3 γ (3 γ a folyadék fajsúlya); \end{matrix}

3. a tengelynél fellépő

K

erő, amely a ferde helyzetbe kényszeríti a kockát.

Az egyensúly feltétele az, hogy a kockára ható összes erő eredője és a forgatónyomatékok összege nulla legyen. Ha a forgatónyomatékokat a tengelyre nézve írjuk fel, akkor a szög meghatározásához elegendő pusztán az utóbbi összefüggés figyelembevétele, mert ekkor az ismeretlen

K

erő forgatónyomatéka nulla.
A súlyerő karja:

\begin{matrix} k = a cos 45^{\circ} cos (45^{\circ} - φ) . \end{matrix}

A felhajtó erő karja egyenlő a vízbe merülő rész súlypontjának

x

koordinátájával, ha az

x

tengelyt a folyadék felszínével párhuzamosan vesszük fel:

\begin{matrix} s_{x} = \frac{a cos φ + a / cos φ}{3}, \end{matrix}

ahol azt használtuk fel, hogy az

A B C

háromszög súlypontjának helyvektorát az

\begin{matrix} \vec{s} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \end{matrix}

összefüggés adja (

\vec{a}

\vec{b}

és

\vec{c}

a csúcsokba mutató helyvektorok).
Írjuk fel a forgatónyomatékok egyenlőségét:

\begin{matrix} a^{3} γ \cdot a cos 45^{\circ} cos (45^{\circ} - φ) = a^{3} \frac{tg φ}{2} 3 γ \cdot a \frac{cos φ + 1 / cos φ}{3}, \\ cos (45^{\circ} - φ) = \frac{1}{\sqrt[]{2}} (cos φ + sin φ), tg φ = sin φ / cos φ \end{matrix}

felhasználásával, az egyenletet egyszerűsítve:

\begin{matrix} cos φ + sin φ = sin φ + \frac{sin φ}{{cos}^{2} φ} . \end{matrix}

Ebből

{cos}^{3} φ = sin φ

(ill.

{cos}^{2} φ = tg φ

).

Négyzetre emelve és rendezve:

\begin{matrix} {({cos}^{2} φ)}^{3} + {cos}^{2} φ - 1 = 0 (ill. {tg}^{3} φ + tg φ - 1 = 0) . \end{matrix}

Az egyenletet grafikusan ábrázolva próbálgatással vagy a Cardano-képlettel megoldva egyetlen valós gyök adódik:

\begin{matrix} tg φ = {cos}^{2} φ \approx 0, 6823. \end{matrix}

Tehát a kocka lapja

φ = 34^{\circ} 18, 5'

szöget zár be a vízszintessel.

Pipek János (Budapest, I. István Gimn., III. o. t. )

Megjegyzés. A megoldók többsége elfeledkezett a tengelynél ébredő erőről és a szöget az így feltételezett ,,erőegyensúly'' alapján számította. Bár ez a megoldás számértékileg csupán fél fokkal tér el a valóditól, az ilyen durva elvi hibát tartalmazó dolgozatokat mégsem lehetett elfogadni. Itt nem az egyenlet számszerű megoldásán volt a hangsúly.