Kezdőlap


Feladat:	918. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Dombi Gábor , Hadik Róbert , Iglói Ferenc
Füzet:	1971/február, 91 - 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmas ütközések, Harmonikus rezgőmozgás, Energiamegmaradás, Impulzus (lendület) megmaradása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/május: 918. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Abban az esetben, amikor a második pattanás után a golyó ugyanolyan magasra emelkedik, visszanyeri teljes helyzeti energiáját. Ezért a rugónak a második pattanás után nyugalmi helyzetbe kell jutnia. Ezt úgy érhetjük el, ha a második ütközés az első ütközés időbeli tükörképe, ami azt jelenti, hogy $M$ tömeg sebessége a második ütközés előtt ugyanakkora nagyságú és ellentétes irányú, mint az első ütközés után. Így a két ütközés között eltelt idő

\begin{matrix} t & = \frac{T}{2} (2 n + 1), ahol & (1) \\ T & = 2 π \sqrt[]{\frac{M}{D}} \end{matrix}

a lap rezgésideje és

n

egész szám.
Az

m

tömegű test

h

magasságból esett le, tehát sebessége

\sqrt[]{2 g h}

. Az impulzusmegmaradást és az energiamegmaradást az első pattanáskor az

\begin{matrix} m \sqrt[]{2 g h} = m v + M u, \\ m g h = (1 / 2) m v^{2} + (1 / 2) M u^{2} \end{matrix}

egyenletrendszer fejezi ki, ahol

v

és

u

m

, ill.

M

tömeg ütközés utáni sebessége. A két egyenletet átrendezve kapjuk:

\begin{matrix} M u = m (\sqrt[]{2 g h} - v), \\ M^{2} u^{2} = m M (2 g h - v^{2}) . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} m^{2} {(\sqrt[]{2 g h} - v)}^{2} = M m (2 g h - v^{2}), tehát \\ v \neq \sqrt[]{2 g h} esetén \\ v = - \frac{M - m}{M + m} \sqrt[]{2 g h} . \end{matrix}

A negatív előjel a sebesség felfelé mutató irányát jelzi. Ilyen sebességű hajítás ideje

\begin{matrix} t = \frac{2 (M - m)}{M + m} \sqrt[]{\frac{2 h}{g}} . \end{matrix}

Ennek az időnek kell megegyeznie az (1)-gyel. Felhasználva, hogy

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{M}{D}}, \end{matrix}

és

h

-t kifejezve megoldásként a

\begin{matrix} h = \frac{M g}{8 D} {[π (2 n + 1) \frac{M + m}{M - m}]}^{2} \end{matrix}

(2)

formulát kapjuk.

Dombi Gábor (Szeged, Ságvári E. Gimn., IV. o. t.)