Kezdőlap


Feladat:	914. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Reviczky János
Füzet:	1971/február, 87 - 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Erőrendszer eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/május: 914. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyugalmi állapot a gerenda vízszintes helyzete esetén valósul meg. Mivel a gerenda $3$ alátámasztási ponton nyugszik, nem lehet egyértelműen megállapítani az $F_{1}$ , $F_{2}$ , $F_{3}$ nyomóerőket, így a $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $Q_{3}$ súlyokat sem, a feladat statikailag határozatlan.

A hengerek súlyának és sugarának kiszámítása után meghatározzuk az alátámasztási pontok helyét, majd

F_{2}

függvényeként kifejezzük az

F_{1}

és

F_{2}

nyomóerőket, és a fonalakra függesztendő ellensúlyokat.
A hengerek fajsúlya

\frac{G_{1}}{R_{1}^{2} π h}

tehát

\begin{matrix} R^{2} π h \cdot \frac{G_{1}}{R_{1}^{2} π h} = G_{3}, R_{3} = R_{1} \sqrt[]{\frac{G_{3}}{G_{1}}} = 5, 59 cm . \end{matrix}

Mivel a második henger éppen érinti az elsőt,

\frac{R_{1} - R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = sin 15^{\circ}

, innen

R_{2} = R_{1} \frac{1 - sin 15^{\circ}}{1 + sin 15^{\circ}} = 14, 72 cm

. Ebből

G_{2} = R_{2}^{2} π h \cdot \frac{G_{1}}{R_{1}^{2} π h} = G_{1} \frac{R_{2}^{2}}{R_{1}^{2}} \approx 6, 934 kp

.
Az első henger érintési pontja a gerenda végétől számítva

10 cm

-re, a másodiké

10 cm + (R_{1} + R_{2}) cos 15^{\circ} = 10 cm + 38, 365 cm = 48, 365 cm

-re, a harmadiké pedig

48, 365 cm + (R_{2} - R_{3}) ctg 15^{\circ} = 48, 365 cm + 34, 073 cm = 82, 438 cm

-re van.

F_{2}

minimális, ha zérus. Maximális, ha

F_{1} = 0

. Ekkor a súlypontra vonatkoztatott forgatónyomatékok

F_{2} (50 cm - 48, 365 cm) - F_{3} (82, 438 cm - 50 cm) = 0

, továbbá

F_{2} + F_{3} = 48 kp

. Ezekből

F_{2} = 47, 08 kp

. Tehát

F_{2}

nulla és

47, 08 kp

közötti értékeket vehet föl.
Fejezzük ki

F_{2}

függvényeként az

F_{1}

és

F_{3}

nyomóerőket.

F_{1} \cdot 40 cm + F_{2} \cdot 1, 635 cm - F_{3} \cdot 32, 438 cm = 0

és

F_{1} + F_{2} + F_{3} = 48 kp

alapján

F_{1} = 21, 50 kp - 0, 4704 F_{2}

F_{3} = 26, 51 kp - 0, 5296 F_{2}

.
A hengerek tengelyéhez erősített kötelekben ható erő a lefelé ható

F_{i} + G_{i}

és a lejtőre merőleges

K_{i}

erők eredőjével tart egyensúlyt

(i = 1,2,3)

. Tehát

\begin{matrix} Q_{1} = (F_{1} + G_{1}) sin 30^{\circ} = (21, 50 kp - 0, 4704 F_{2} + 20 kp) \cdot 0, 5 = 20, 75 kp - 0, 2352 F_{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} Q_{2} = (F_{2} + G_{2}) sin 30^{\circ} = (F_{2} + 6, 934 kp) \cdot 0, 5 = 3, 467 kp + 0, 5 F_{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} Q_{3} = (F_{3} + G_{3}) sin 30^{\circ} = (26, 51 kp - 0, 5296 F_{2} + 1 kp) \cdot 0, 5 = 13, 75 kp - 0, 2648 F_{2} . \end{matrix}

Reviczky János (Bp., I. István Gimn., II. o. t. )