Kezdőlap


Feladat:	910. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Klebniczki József
Füzet:	1971/január, 44 - 45. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Torziós inga, Analógia alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/április: 910. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a fogaskerekek tehetetlenségi nyomatékát $I_{1}$ , ill. $I_{2}$ -vel, a megfelelő szögelfordulásokat $φ_{1}$ és $φ_{2}$ -vel, a szöggyorsulásokat $β_{1}$ és $β_{2}$ -vel! Feltételezzük, hogy a fogaskerekek közt ható $F$ erő érintő irányú. Ez nem szükségszerű, hiszen a fogaskerekeket tetszőleges erővel egymáshoz szoríthatjuk (statikailag határozatlan feladat), a sugár irányú erő azonban úgysem ad forgatónyomatékot.
Mindkét fogaskerékre felírhatjuk a forgómozgás alapegyenletét:

\begin{matrix} I_{1} β_{1} = - D_{1}^{*} φ_{1} + F r_{1}, & (1) \\ I_{2} β_{2} = - D_{2}^{*} φ_{2} - F r_{2} . & (2) \end{matrix}

Mivel a fogaskerekek nem csúszhatnak, a kerületi elmozdulásoknak és a kerületi gyorsulásoknak meg kell egyezniök.

\begin{matrix} r_{1} φ_{1} = r_{2} φ_{2}, \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} r_{1} β_{1} = r_{2} β_{2} . \end{matrix}

(4)

Az (1)‐(4) egyenletekből pl.

β_{1}

-et kifejezve:

\begin{matrix} β_{1} = - \frac{D_{1}^{*} r_{2}^{2} + D_{2}^{*} r_{1}^{2}}{I_{1} r_{2}^{2} + I_{2} r_{1}^{2}} φ_{1} . \end{matrix}

(5)

Ez egy olyan harmonikus rezgőmozgás egyenlete, melynek körfrekvenciája

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{\frac{D_{1}^{*} r_{2}^{2} + D_{2}^{*} r_{1}^{2}}{I_{1} r_{2}^{2} + I_{2} r_{1}^{2}}} . \end{matrix}

(6)

A szögelfordulás az idő függvényében:

\begin{matrix} φ_{1} = Φ_{1} cos ω t, \end{matrix}

ahol

Φ_{1}

a legnagyobb szögelfordulást jelöli. A maximális szögsebesség

Φ_{1} ω

értékű. A másik fogaskerék mozgását (3) alapján számíthatjuk, a maximális szögsebesség

Φ_{2} ω = \frac{r_{1}}{r_{2}} Φ_{1} ω

. A legnagyobb szögsebességet a fogaskerekek a teljes rezgésidő negyedrésze alatt, tehát

t = π / 2 ω

idő múlva érik el.
Az érintkezési pontnál ható erő (1) és (5)-ből fejezhető ki:

\begin{matrix} F = r_{1} \cdot \frac{D_{1}^{*} I_{2} - D_{2}^{*} I_{1}}{I_{1} r_{2}^{2} + I_{2} r_{1}^{2}} φ_{1} . \end{matrix}

(7)

F

irányát úgy vettük fel, hogy a második fogaskeréknél növeli a visszahúzó erőt. (7)-ből látható, hogy

F

akkor pozitív, ha

\begin{matrix} \frac{D_{1}^{*}}{I_{1}} > \frac{D_{2}^{*}}{I_{2}} . \end{matrix}

Ennek szemléletes jelentése van, hiszen

\frac{D_{1}^{*}}{I_{1}} = ω_{1}^{2}

és

\frac{D_{2}^{*}}{I_{2}} = ω_{2}^{2}

, ahol

ω_{1}

és

ω_{2}

az egyes fogaskerekek körfrekvenciája, akkor, ha nem kapcsolódnak egymáshoz. Ha a fogaskerekeket összekapcsoljuk, akkor rezgésük körfrekvenciájának meg kell egyeznie. Az

F

erőnek tehát olyan irányúnak kell lennie, hogy

ω_{1}

-et csökkentse és

ω_{2}

-t növelje.
Amennyiben a fogaskerekek jó közelítésben homogén korongoknak tekinthetők, úgy

I_{1}

és

I_{2}

helyében

m_{1} r_{1}^{2} / 2

és

m_{2} r_{2}^{2} / 2

írható.

Klebniczki József (Szeged, Ságvári E. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján