Kezdőlap


Feladat:	908. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Iglói Ferenc , Klebniczki József , Sebestyén István , Végh János
Füzet:	1971/január, 42 - 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb síkmozgás, Síkinga, Analógia alkalmazása, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/április: 908. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A test ellipszis íven mozog. Kis kitérés esetén az ellipszis íve helyettesíthető a kistengely végpontjában simuló kör ívével. Ennek a körnek a sugara $ϱ = a^{2} / b$ , (K. M. L. XXVIII. kötet, 129. oldal), ahol $a$ és $b$ az ellipszis fél nagy-, ill. fél kistengelye.

1. ábra

A feladatban leírt ingát ezzel a

ϱ

sugarú fonálingával helyettesíthetjük (1. ábra), ennek lengésideje

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{ϱ}{g}} = 2 π \sqrt[]{\frac{a^{2}}{b g}} = 2 π a \sqrt[]{\frac{1}{b g}} = 2 π \frac{l}{2} \sqrt[]{\frac{1}{g \sqrt[]{\frac{l^{2} - d^{2}}{2}}}} = π l \sqrt[]{\frac{\sqrt[]{2}}{g \sqrt[]{l^{2} - d^{2}}}} . \end{matrix}

Végh János (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., III. o. t.)

II. megoldás. Az ellipszis egyenlete

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1. Itt a = \frac{l}{2}, b = \frac{\sqrt[]{l^{2} - d^{2}}}{2} . \end{matrix}

A test koordinátái a pálya legmélyebb pontján (

0, y_{0}

). Ha a testet vízszintesen

A

távolságra kitérítjük, ordinátája

y_{1}

-re változik (2. ábra):

2. ábra

\begin{matrix} \frac{A^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{1}^{2}}{b^{2}} = 1, y_{1} = b \sqrt[]{1 - \frac{A^{2}}{a^{2}}} . \end{matrix}

A test emelkedése

Δ h = y_{0} - y_{1} = b (1 - \sqrt[]{1 - \frac{A^{2}}{a^{2}}}) .

(1)

Írjuk fel az energiamegmaradás tételét felhasználva, hogy a legmélyebb helyzetben a sebesség maximális, a helyzeti energia 0, illetve az

A

vízszintes távolságra kimozdított helyzetben a helyzeti energia

m g Δ h

, a mozgási energia 0.

\begin{matrix} (1 / 2) m v^{2} = m g Δ h . \end{matrix}

(2)

Kis kitérés esetén a test mozgása

A

amplitúdójú harmonikus rezgőmozgásnak tekinthető, a sebesség amplitúdó

v = A 2 π / T

. Ezt és

Δ h

értékét beírva (2)-be, majd

T

-t kifejezve, az

A^{2}

-et tartalmazó tag elhanyagolásával ugyanazt az eredményt kapjuk, mint az I. megoldásban.

Klebniczki József (Szeged, JATE Ságvári E. Gyak. Gimn., III. o. t.)